3. Единственность решения внешних задач для уравнения Лапласа на плоскости

Для уравнения Лапласа на плоскости требование равномерного стремления решения к нулю на бесконечности является слишком жестким. Такого решения вообще может не существовать. Это видно на примере простейшей задачи:

Решая эту задачу методом разделения переменных, находим два решения:

из которых первое ограничено, а второе неограниченно возрастает при Решений, стремящихся к нулю при эта задача не имеет. Единственное решение этой задачи выделяется требованием ограниченности решения на бесконечности.

Поэтому для функций двух переменных условие регулярности на бесконечности вводится иначе.

Определение. Функция двух переменных называется регулярной на бесконечности, если она имеет конечный предел на бесконечности.

Покажем, что это условие выделяет единственное решение внешней задачи Дирихле на плоскости.

Рассмотрим следующую внешнюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа на плоскости.

Найти функцию и, непрерывную в удовлетворяющую в уравнению Лапласа непрерывно примыкающую к граничному условию

и ограниченную на бесконечности. Здесь гладкий замкнутый контур на плоскости являющийся границей области

Теорема 5.7. Внешняя задача Дирихле на плоскости не может иметь более одного классического решения, регулярного на бесконечности.

Доказательство. Рассмотрим однородную задачу

Покажем, что эта задача имеет только нулевое решение.

Возьмем внутри контура точку Построим окружность радиуса а с центром в точке целиком лежащую внутри Пусть расстояние между точками Функция

гармонична всюду в и положительна в так как а при

Построим окружность радиуса с центром в точке содержащую контур внутри себя. Рассмотрим функцию

называемую «барьером». Она гармонична в при В силу принципа максимума

всюду между контуром и окружностью Фиксируем точку Пусть Тогда Следовательно В силу произвольности точки всюду в Следовательно, однородная задача имеет только тривиальное решение, а решение неоднородной задачи единственно.

Переходя к изучению единственности решения второй и третьей краевых задач в двумерном случае, убедимся сначала, что для гармонических в функций, регулярных на бесконечности, справедливы первая и вторая формулы Грина во внешней области.

Для этого покажем, что для гармонической в и регулярной на бесконечности функции и справедлива оценка ее первых производных:

Построим окружность радиуса а с центром содержащую контур внутри себя. Введем полярную систему координат с началом в Методом разделения переменных легко показать, что вне регулярное на бесконечности решение уравнения Лапласа может быть представлено в виде ряда

где

Написанный ряд (3.4) при сходится абсолютно, и его можно почленно дифференцировать по и по Дифференцируя (3.4), получим при

Поскольку

то отсюда и следует оценка (3.3).

Полученная оценка (3.3) позволяет получить первую и вторую формулы Грина во внешней области. Действительно, пусть функции и и непрерывны в вместе с первыми производными, имеют непрерывные вторые производные в гармонические в и регулярны на бесконечности. Построим окружность достаточно большого радиуса содержащую контур внутри себя. Область между обозначим Применим к функциям и и в области первую формулу Грина

Согласно оценке (3.3) при

Интеграл при сходится к несобственному интегралу Следовательно, существует предел при интеграла, стоящего в левой части (3.5), и, переходя к пределу в (3.5), получаем первую формулу Грина во внешней области

Справедливость второй формулы Грина во внешней области

очевидна.

Используя первую формулу Грина, теперь легко исследовать «динственность решения второй и третьей внешних краевых задач в двумерном случае.

Теорема 5.8. При внешняя третья краевая задача на плоскости:

где внутренняя по отношению к области нормаль к может иметь не более одного решения, непрерывного вместе с первыми производными в и регулярного на бесконечности.

Доказательство является почти дословным повторением рассуждений, проведенных в и может быть легко воспроизведено читателем.

Решение внешней задачи Неймана на плоскости

регулярное (ограниченное) на бесконечности, определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Кроме того, для существования решения должно быть выполнено необходимое условие

Эти утверждения также вытекают из первой формулы Грина.

Можно показать, что условие (3.6) является также и достаточным условием разрешимости внешней задачи Неймана на плоскости.

Таким образом, на плоскости, в отличие от трехмерного случая, внешняя задача Неймана разрешима не всегда, а если ее решение существует, то оно неединственно.