2. Краевая задача для присоединенных функций Лежандра

Получим дифференциальное уравнение для присоединенных функций Лежандра. Функция удовлетворяет уравнению Лежандра (3.29):

Продифференцируем раз, учитывая формулу Лейбница:

Получим

причем мы учли, что поскольку производные более высоких порядков от тождественно равны нулю.

Поскольку

то

т. е.

Полагая

получаем из (4.3) следующее уравнение для функции

Уравнение (4.4) можно переписать и в самосопряженной форме:

Из вида уравнения (4.5) следует, что точки являются особыми точками этого уравнения (см. § 1). Поэтому для выделения единственного решения уравнения (4.5) достаточно потребовать, чтобы оно было ограничено в точках ±1. В результате получаем, что присоединенные функции Лежандра при каждом значении параметра являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям следующей краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке :

где

Ниже будет доказано, что присоединенные функции Лежандра исчерпывают все собственные функции краевой задачи (4.6). Заметим, что, как это следует из общей теории, второе линейно независимое решение уравнения (4.6) имеет особенность в особых точках ±1.

Так как присоединенные функции Лежандра являются собственными функциями краевой задачи (4.6) для самосопряженного оператора, то они образуют ортогональную систему на отрезке

при и одном и том же

Заметим, что для присоединенных функций Лежандра имеет место формула ортогональности по верхнему индексу с весом

причем