§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СЛУЧАЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

1. Построение формального решения начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями

Проведем редукцию [см. § 1 гл. III) общей начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) и рассмотрим задачу для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным и однородным граничным условиями

Для классического решения задачи (4.1) — (4.3) должны быть выполнены условия согласования начального и граничного условий

Построим методом Фурье формальное решение задачи (4.1) — (4.3). Общая схема метода разделения переменных приведена в § 4 гл. III.

Рассмотрим в области следующую задачу Штурма-Лиувилля:

Из общей теории следует, что существуют счетное множество собственных значений и полная в области система собственных функций Будем искать решение задачи (4.1) — (4.3) в виде разложения по этой системе:

Для функции получаем уравнение

решение которого имеет вид

Таким образом,

Коэффициенты ряда (4.6) определяются из начального условия (4.2):

В силу полноты системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (4.4), если функция удовлетворяет условиям теоремы Стеклова и удовлетворяет граничным условиям (4.3), то ряд (4.7) сходится к функции равномерно.

Коэффициенты вычисляются по формуле

где

— квадрат нормы собственной функции.

Итак, формально построенное решение задачи (4.1) — (4.3) представляется рядом (4.6), коэффициенты которого определяются по формулам (4.8) — (4.9).

Подчеркнем еще раз, что мы построили решение задачи чисто формально. Необходимо обоснование того, что функция представимая рядом (4.6), является классическим решением задачи (4.1) — (4.3). Оно может быть проведено при условиях гладкости функции обеспечивающих не только равномерную сходимость ряда (4.7), но и удовлетворение функцией (4.6) уравнению всюду в цилиндре Это обоснование будет проведено в следующем пункте для одномерной задачи Дирихле.