Глава V. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Как было установлено в гл. II, уравнение

является в точке уравнением эллиптического типа, если в этой точке квадратичная форма

знакоопределена. Простейшим примером уравнения эллиптического типа служит уравнение Лапласа

С него и начнем изучение уравнений эллиптического типа.

В этой главе рассмотрены общие свойства решений уравнения Лапласа, постановка внутренних и внешних задач для уравнения Лапласа, вопросы существования, единственности и устойчивости решения краевых задач и основы теории потенциала.

§ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Определение. Функция непрерывная в области вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяющая в этой области уравнению Лапласа, называется гармонической в области

Рассмотрим основные свойства гармонических функций. Будем рассматривать трехмерный случай.

1. Формулы Грина

В гл. III выведены первая и вторая формулы Грина для общего оператора Напомним их для того случая, когда

Пусть в области ограниченной замкнутой гладкой поверхностью заданы функции непрерывные вместе с первыми производными в замкнутой области и имеющие непрерывные вторые производные в Тогда в области справедливы первая и вторая формулы Грина (см. (2.5) и (2.6) гл. III):

где единичная нормаль к поверхности внешняя по отношению к области

Для вывода третьей формулы Грина нам потребуется специальное решение уравнения Лапласа, которое называется фундаментальным решением.

Пусть фиксированная точка области Найдем решение уравнения Лапласа, зависящее только от расстояния от точки Рассмотрим отдельно трехмерный и двумерный случай.

В трехмерном случае введем сферическую систему координат с центром в точке Тогда задача сводится к отысканию радиально-симметричного решения уравнения Лапласа, которое в этом случае принимает вид

Решая это уравнение, получаем

- расстояние от точки до

Решение называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в трехмерном случае. Заметим, что фундаментальное решение удовлетворяет уравнению Лапласа (т. е. является гармонической функцией) всюду, кроме одной точки в которой оно неограничено (имеет особенность).

В двумерном случае введем полярную систему координат с центром в точке и будем искать решение уравнения Лапласа, зависящее только от Уравнение Лапласа принимает вид

Его решение имеет вид

Функция называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в двумерном случае.

Перейдем к выводу третьей формулы Грина. Как и ранее, будем рассматривать трехмерный случай. Пусть фундаментальное решение с особенностью в точке Будем считать, что внутренняя точка области Окружим точку сферой радиуса с центром в точке целиком лежащей в области Область между (границей и сферой обозначим В области применим вторую формулу Грина (1.2) к произвольной функции и построенному фундаментальному решению

Так как на поверхности 2?

то, используя теорему о среднем, получим

где

Поскольку в области то, переходя к пределу в (1.3) при получим

Отсюда

(интеграл по области понимается как несобственный интеграл второго рода). Формула (1.4) называется третьей формулой Грина.

Относительно третьей формулы Грина сделаем следующие замечания. Формула (1.4) выведена в предположении, что точка является внутренней точкой области Если точка расположена вне области то функция является гармонической функцией всюду в области и поэтому по второй формуле Грина получаем

Рассмотрим теперь случай, когда принадлежит поверхности Будем считать, что поверхность имеет в точке касательную плоскость с непрерывными угловыми коэффициентами. Дальнейшие рассуждения совпадают по схеме с только что проведенными. Применим вторую формулу Грина к функциям в области При этом поверхностный интеграл берется по границе где часть сферы находящаяся внутри области где часть поверхности расположенная внутри шара При достаточно малом поверхность близка к полусфере с центром в точке и радиусом Поэтому в окончательной формуле, полученной при предельном переходе и аналогичной (1.4), множитель заменится на

(при этом следует иметь в виду, что поверхностные интегралы в формуле (1.6) являются несобственными; их исследование будет проведено позже (см. § 6)). Объединяя все три случая, третью формулу Грина запишем в виде

Заметим, что третья формула Грина справедлива для произвольной достаточно гладкой функции. Она показывает, что в

любой внутренней точке области функция и может быть выражена через свое значение и значение нормальной производной на границе и значение оператора Лапласа от этой функции во всей области Для гармонической функции третья формула Грина принимает более простой вид. Например, при

В двумерном случае третья формула Грина выводится аналогично. Она имеет следующий вид:

Сделаем следующие замечания. Понятие фундаментального решения может быть введено для общего дифференциального оператора Фундаментальным решением оператора называется регулярная обобщенная функция, удовлетворяющая уравнению

где дельта-функция Дирака.

Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (1.9).

Пусть -основная функция, т. е. бесконечно дифференцируемая локальная функция. Носитель ее обозначим Функция как регулярная обобщенная функция имеет обобщенные производные всех порядков. Следовательно, есть обобщенная функция. Покажем, что

Рассмотрим функционал заданный на пространстве основных функций. Согласно определению производных обобщенных функций

Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства (1.10), используя третью формулу Грина (1.7):

Область можно выбрать достаточно большой так, что носитель функции расположен строго внутри Тогда

Поэтому

Следовательно, из (1.10) получаем

Это соотношение и показывает, что

Аналогичным образом можно показать, что в двумерном случае

Таким образом, построенные нами решения только числовым множителем отличаются от фундаментального решения в трехмерном и двумерном случаях, определенного соотношением (1.9). Поэтому там, где это не вызывает затруднений, сохраним за ними название «фундаментальное решение уравнения Лапласа».

Заметим также, что фундаментальное решение согласно (1.9) определено неоднозначно. Оно определено с точностью до решения однородного уравнения Поэтому, строго говоря, фундаментальным решением уравнения Лапласа в трехмерном случае является любая функция равная

где гармоническая функция.

Полезно отметить, что формально третью формулу Грина можно получить следующим образом. Пусть -регулярная обобщенная функция. Применим в области вторую формулу Грина (1.2):

Так как

и

то из (1.11) получаем

Строгим обоснованием этого метода и являются рассуждения, проведенные в начале этого параграфа при выводе третьей формулы Грина.