Главная > Лекции по математической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава V. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Как было установлено в гл. II, уравнение

является в точке уравнением эллиптического типа, если в этой точке квадратичная форма

знакоопределена. Простейшим примером уравнения эллиптического типа служит уравнение Лапласа

С него и начнем изучение уравнений эллиптического типа.

В этой главе рассмотрены общие свойства решений уравнения Лапласа, постановка внутренних и внешних задач для уравнения Лапласа, вопросы существования, единственности и устойчивости решения краевых задач и основы теории потенциала.

§ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Определение. Функция непрерывная в области вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяющая в этой области уравнению Лапласа, называется гармонической в области

Рассмотрим основные свойства гармонических функций. Будем рассматривать трехмерный случай.

1. Формулы Грина

В гл. III выведены первая и вторая формулы Грина для общего оператора Напомним их для того случая, когда

Пусть в области ограниченной замкнутой гладкой поверхностью заданы функции непрерывные вместе с первыми производными в замкнутой области и имеющие непрерывные вторые производные в Тогда в области справедливы первая и вторая формулы Грина (см. (2.5) и (2.6) гл. III):

где единичная нормаль к поверхности внешняя по отношению к области

Для вывода третьей формулы Грина нам потребуется специальное решение уравнения Лапласа, которое называется фундаментальным решением.

Пусть фиксированная точка области Найдем решение уравнения Лапласа, зависящее только от расстояния от точки Рассмотрим отдельно трехмерный и двумерный случай.

В трехмерном случае введем сферическую систему координат с центром в точке Тогда задача сводится к отысканию радиально-симметричного решения уравнения Лапласа, которое в этом случае принимает вид

Решая это уравнение, получаем

- расстояние от точки до

Решение называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в трехмерном случае. Заметим, что фундаментальное решение удовлетворяет уравнению Лапласа (т. е. является гармонической функцией) всюду, кроме одной точки в которой оно неограничено (имеет особенность).

В двумерном случае введем полярную систему координат с центром в точке и будем искать решение уравнения Лапласа, зависящее только от Уравнение Лапласа принимает вид

Его решение имеет вид

Функция называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в двумерном случае.

Перейдем к выводу третьей формулы Грина. Как и ранее, будем рассматривать трехмерный случай. Пусть фундаментальное решение с особенностью в точке Будем считать, что внутренняя точка области Окружим точку сферой радиуса с центром в точке целиком лежащей в области Область между (границей и сферой обозначим В области применим вторую формулу Грина (1.2) к произвольной функции и построенному фундаментальному решению

Так как на поверхности 2?

то, используя теорему о среднем, получим

где

Поскольку в области то, переходя к пределу в (1.3) при получим

Отсюда

(интеграл по области понимается как несобственный интеграл второго рода). Формула (1.4) называется третьей формулой Грина.

Относительно третьей формулы Грина сделаем следующие замечания. Формула (1.4) выведена в предположении, что точка является внутренней точкой области Если точка расположена вне области то функция является гармонической функцией всюду в области и поэтому по второй формуле Грина получаем

Рассмотрим теперь случай, когда принадлежит поверхности Будем считать, что поверхность имеет в точке касательную плоскость с непрерывными угловыми коэффициентами. Дальнейшие рассуждения совпадают по схеме с только что проведенными. Применим вторую формулу Грина к функциям в области При этом поверхностный интеграл берется по границе где часть сферы находящаяся внутри области где часть поверхности расположенная внутри шара При достаточно малом поверхность близка к полусфере с центром в точке и радиусом Поэтому в окончательной формуле, полученной при предельном переходе и аналогичной (1.4), множитель заменится на

(при этом следует иметь в виду, что поверхностные интегралы в формуле (1.6) являются несобственными; их исследование будет проведено позже (см. § 6)). Объединяя все три случая, третью формулу Грина запишем в виде

Заметим, что третья формула Грина справедлива для произвольной достаточно гладкой функции. Она показывает, что в

любой внутренней точке области функция и может быть выражена через свое значение и значение нормальной производной на границе и значение оператора Лапласа от этой функции во всей области Для гармонической функции третья формула Грина принимает более простой вид. Например, при

В двумерном случае третья формула Грина выводится аналогично. Она имеет следующий вид:

Сделаем следующие замечания. Понятие фундаментального решения может быть введено для общего дифференциального оператора Фундаментальным решением оператора называется регулярная обобщенная функция, удовлетворяющая уравнению

где дельта-функция Дирака.

Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (1.9).

Пусть -основная функция, т. е. бесконечно дифференцируемая локальная функция. Носитель ее обозначим Функция как регулярная обобщенная функция имеет обобщенные производные всех порядков. Следовательно, есть обобщенная функция. Покажем, что

Рассмотрим функционал заданный на пространстве основных функций. Согласно определению производных обобщенных функций

Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства (1.10), используя третью формулу Грина (1.7):

Область можно выбрать достаточно большой так, что носитель функции расположен строго внутри Тогда

Поэтому

Следовательно, из (1.10) получаем

Это соотношение и показывает, что

Аналогичным образом можно показать, что в двумерном случае

Таким образом, построенные нами решения только числовым множителем отличаются от фундаментального решения в трехмерном и двумерном случаях, определенного соотношением (1.9). Поэтому там, где это не вызывает затруднений, сохраним за ними название «фундаментальное решение уравнения Лапласа».

Заметим также, что фундаментальное решение согласно (1.9) определено неоднозначно. Оно определено с точностью до решения однородного уравнения Поэтому, строго говоря, фундаментальным решением уравнения Лапласа в трехмерном случае является любая функция равная

где гармоническая функция.

Полезно отметить, что формально третью формулу Грина можно получить следующим образом. Пусть -регулярная обобщенная функция. Применим в области вторую формулу Грина (1.2):

Так как

и

то из (1.11) получаем

Строгим обоснованием этого метода и являются рассуждения, проведенные в начале этого параграфа при выводе третьей формулы Грина.

1
Оглавление
email@scask.ru