Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава V. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСАКак было установлено в гл. II, уравнение
является в точке
знакоопределена. Простейшим примером уравнения эллиптического типа служит уравнение Лапласа
С него и начнем изучение уравнений эллиптического типа. В этой главе рассмотрены общие свойства решений уравнения Лапласа, постановка внутренних и внешних задач для уравнения Лапласа, вопросы существования, единственности и устойчивости решения краевых задач и основы теории потенциала. § 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙОпределение. Функция Рассмотрим основные свойства гармонических функций. Будем рассматривать трехмерный случай. 1. Формулы ГринаВ гл. III выведены первая и вторая формулы Грина для общего оператора Пусть в области
где Для вывода третьей формулы Грина нам потребуется специальное решение уравнения Лапласа, которое называется фундаментальным решением. Пусть В трехмерном случае введем сферическую систему координат
Решая это уравнение, получаем
Решение В двумерном случае введем полярную систему координат
Его решение имеет вид
Функция Перейдем к выводу третьей формулы Грина. Как и ранее, будем рассматривать трехмерный случай. Пусть
Так как на поверхности 2?
то, используя теорему о среднем, получим
где Поскольку в области
Отсюда
(интеграл по области Относительно третьей формулы Грина сделаем следующие замечания. Формула (1.4) выведена в предположении, что точка
Рассмотрим теперь случай, когда
(при этом следует иметь в виду, что поверхностные интегралы в формуле (1.6) являются несобственными; их исследование будет проведено позже (см. § 6)). Объединяя все три случая, третью формулу Грина запишем в виде
Заметим, что третья формула Грина справедлива для произвольной достаточно гладкой функции. Она показывает, что в любой внутренней точке области функция и может быть выражена через свое значение и значение нормальной производной на границе и значение оператора Лапласа от этой функции во всей области
В двумерном случае третья формула Грина выводится аналогично. Она имеет следующий вид:
Сделаем следующие замечания. Понятие фундаментального решения может быть введено для общего дифференциального оператора
где Покажем, что функция Пусть
Рассмотрим функционал
Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства (1.10), используя третью формулу Грина (1.7):
Область
Поэтому
Следовательно, из (1.10) получаем
Это соотношение и показывает, что
Аналогичным образом можно показать, что в двумерном случае
Таким образом, построенные нами решения Заметим также, что фундаментальное решение согласно (1.9) определено неоднозначно. Оно определено с точностью до решения однородного уравнения
Полезно отметить, что формально третью формулу Грина
Так как
и
то из (1.11) получаем
Строгим обоснованием этого метода и являются рассуждения, проведенные в начале этого параграфа при выводе третьей формулы Грина.
|
1 |
Оглавление
|