§ 5. ФУНКЦИЯ ГРИНА

Вернемся к решению начально-краевой задачи (4.1) — (4.3). Пусть система собственных функций задачи Штурма-Лиувилля ортонормирована:

Решение задачи (4.1) — (4.3) дается формулой (4.6):

с коэффициентами, вычисляемыми по формуле

Используя асимптотику собственных функций можно доказать, что при достаточных условиях гладкости функций

ряд (4.6) представляет классическое решение задачи (41) — (4.3).

Подставим (5.1) в (4.6) и поменяем порядок интегрирования и суммирования:

Введем обозначение

Тогда

Можно доказать, что если функция непрерывна в области то формула (5.3) определяет классическое решение задачи (4.1) — (4.3).

Определение. Функция определяемая формулой (5.2), называется функцией Грина, или функцией источника задачи (4.1) — (4.3).

Для начально-краевой задачи общего вида функция Грина была введена в § 5 гл. III.

Рассмотрим физический смысл функции Грина. Выберем в качестве начальной функции непрерывную в области функцию равную нулю вне шара радиуса с центром в точке принадлежащего области и положительную в этом шаре. Предположим, что функция удовлетворяет условию нормировки: для любого

Согласно формуле (5.3) решение задачи (4.1) — (4.3) с начальной функцией имеет вид

Применяя к интегралу (5.5) формулу среднего значения, получим с учетом (5.4)

где точка принадлежит шару Перейдя в формуле (5.6) к пределу при получим

Из формулы (5.7) следует, что функция Грина с физической точки зрения представляет собой температуру тела в точке в момент времени если возбуждение тела производится мгновенным точечным источником, действующим в момент времени в точке

Подсчитаем мощность точечного источника. Напомним, что коэффициент равен где — удельная теплоемкость тела а - его плотность. Количество тепла сообщенное телу в начальный момент равно

при этом мы учли формулу (5.4).

Итак, функция Грина представляет собой температуру тела в точке в момент времени при мгновенном выделении единичного количества тепла в точке в момент времени

Из физического смысла функции Грина становится ясным ее второе название — функция источника.

Замечание. Рассмотрим функцию являющуюся пределом при функции

Согласно определению дельта-функции Дирака функция выражается через дельта-функцию следующим образом:

Итак, функция является обобщенной функцией. При этом формулу (5.7) можно сразу получить из формулы (5.3), пользуясь известным свойством дельта-функции.

Если ввести обобщенную функцию как решение следующей начально-краевой задачи:

то