§ 4. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В заключение сделаем несколько общих замечаний.
1. На основании рассмотренных примеров можно заключить, что для многих физических процессов, описываемых изменением определенных физических величин в пространстве и во времени, математическими моделями являются начальнокраевые (или краевые) задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
2. Различные по своей физической природе группы процессов в том случае, когда они имеют общие, наиболее характерные аспекты, описываются одними и теми же математическими моделями. Например, для процессов колебаний различной физической природы (упругие колебания сплошной среды, акустические и электромагнитные колебания и др.) общей математической моделью служит начально-краевая задача для уравнения (1.39). Задачи, связанные с массо- или теплопереносом независимо от физической природы процесса сводятся к математическим моделям, заключающимся в решении начально-краевых задач типа (2.13). Наконец, общей математической моделью для таких совершенно различных по своей физической природе стационарных процессов, как задачи электростатики, статические задачи теории упругости, задачи стационарного распределения тепла, установившиеся колебания материальных сред и многие другие, служит одна и та же краевая задача типа (3.15).
3 Эти классы математических моделей существенно различаются между собой главными членами в уравнениях, описывающими изменение исследуемых величин во времени. В первом случае (процессы колебания) уравнение содержит вторую частную производную по времени, во втором (процессы переноса) в уравнение входит лишь первая частная производная по времени, в случае стационарных процессов вообще отсутствует частная производная по временной координате.
4. Дифференциальные уравнения приведенных типов математических моделей представляют собой основные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка классической математической физики. Основной задачей данного курса являются изучение общих свойств решений данных типов уравнений и разработка общих алгоритмов решения соответствующих начально-краевых задач.
При этом возникает естественный вопрос: исчерпывается ли все многообразие линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка данными типами уравнений? Исследованию ряда аспектов этого вопроса посвящена следующая глава.
