2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Напомним некоторые необходимые в дальнейшем сведения о несобственных интегралах второго рода, зависящих от параметра.

Будем рассматривать несобственные интегралы вида

где функция, неограниченная при и непрерывная по ограниченная функция.

Определение. Интеграл (6.2) называется равномерно сходящимся в точке если для любого существует такое что неравенство

выполняется для любой точки и для любой области где шар радиуса с центром

Теорема 5.9. Интеграл (6.2), равномерно сходящийся в точке есть непрерывная функция в этой точке

Доказательство. Нужно показать, что для любого существует такое, что при Выберем внутри область содержащую точку внутри себя. Обозначим Интеграл представим в виде

где

Рассмотрим разность

В силу равномерной сходимости интеграла (6.2) в точке существует такое что

Так как точка то интеграл является собственным и, следовательно, непрерывен в точке Поэтому существует такое, что

Пусть Тогда

что и означает непрерывность интеграла в точке

Эта теорема справедлива не только для интегралов по объему, но и для интегралов по поверхности или по контуру. Эта обстоятельство будет использовано при исследовании поверхностных интегралов.