2. Однородные граничные условия

Изучение уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой начнем с начально-краевой задачи для однородного уравнения с однородным граничным условием:

где

Предварительно докажем лемму относительно функции определенной интегралом Пуассона.

Лемма 6.4. Пусть функция определена на бесконечной прямой имеет на ней ограниченные производные до порядка включительно, и линейная комбинация

где нечетна относительно точки Тогда функция

удовлетворяет условию

Доказательство. Прежде всего заметим, что функция Грина

удовлетворяет условию

В силу наложенных на условий функцию (11.11) можно дифференцировать раз по х под знаком интеграла. Поэтому

Интегрируя (11.12) по частям и учитывая, что внеинтегральные слагаемые обращаются в нуль, получим

Согласно (11.10) подынтегральная функция в (11.13) при нечетна. Следовательно,

Лемма 6.4 позволяет указать следующий способ решения задачи для однородного уравнения теплопроводности:

с заданным начальным условием

и однородным граничным условием вида

Продолжим функцию заданную при на всю действительную ось построив функцию которая удовлетворяет условиям

и непрерывна вместе с производными до порядка включительно на всей оси.

Теперь решим задачу Коши на бесконечной прямой:

Согласно лемме 6.4 функция удовлетворяет граничному условию (11.16) и, следовательно, при

Сформулированный в лемме 6.4 способ построения начально-краевой задачи (11.6) — (11.8) на полупрямой называется методом продолжения. Отметим, что в случае однородного граничного условия Дирихле в формуле Но тогда согласно формуле (11.10) функция должна быть нечетной, т. е. функцию нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным образом. В случае однородного граничного условия Неймана в формуле и согласно формуле (11.10) функция должна быть нечетной. Но поскольку производная четной функции есть функция нечетная, то функция должна быть четной. Следовательно, функцию нужно продолжить на отрицательную полуось четным образом. Применительно к задачам Дирихле и Неймана метод продолжения носит название соответственно метода нечетного и четного продолжения.

Используя доказанную лемму, построим решение задачи (11.6) — (11.8) с граничными условиями Дирихле

Поскольку мы будем рассматривать классическое решение, предположим, что функция удовлетворяет условию согласования начального и граничного условий: Введем функцию являющуюся нечетным продолжением функции

и рассмотрим задачу Коши (11.18),

Решение задачи (11.18) можно записать в виде интеграла Пуассона (11.11).

Функция (11.11), очевидно, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности (11.6) в непрерывна и ограничена в замкнутой области удовлетворяет начальному условию (11.7) и в силу леммы 6.4 однородному граничному условию Дирихле. Тем самым она является классическим решением задачи (11.6) — с граничным условием Дирихле.

Поскольку в формулировке задачи (11.6) — (11.8) с однородными граничными условиями Дирихле функция не фигурирует, преобразуем формулу (11.11), выражая через с помощью (11.19):

Окончательно решение задачи (11.6) — (118) с граничными условиями Дирихле можно записать в виде

где, учитывая (7.16) и (11.20), получим

Функция называется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности на полупрямой.

Заметим, что функция определенная интегралом Пуассона (11.21), удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности в ограничена в и в случае ограниченной кусочно-непрерывной функции непрерывно примыкает при к функции в точках ее непрерывности. Очевидно, что это имеет место и в случае несогласования начальных и граничных условий: При этом граничное условие выполняется только при

Физический смысл функции следует из формулы (11.22) — функция дает значение температуры в точке х полубесконечного стержня в момент времени если в начальный момент в точке мгновенно выделяется количество тепла, равное а граничное сечение все время поддерживается при нулевой температуре, для чего в точку нужно поместить мгновенный точечный отрицательный источник.

С помощью функции Грина можно построить решение задачи Дирихле для неоднородного уравнения теплопроводности на полупрямой с однородными начальными и граничными условиями:

Решение задачи (11.23) имеет вид

Решение задачи (11.6) — (11.8) с граничными условиями Неймана строится аналогично, но начальная функция продолжается на всю бесконечную прямую четным образом:

Рассмотрим снова задачу Коши (11.18) на бесконечной прямой, где начальная функция определяется формулой (11.25). Записывая решение в виде интеграла Пуассона (11.11) и рассматривая функцию на положительной полуоси, получим решение задачи (11.6) — (11.8) при При этом граничное условие Неймана выполняется в силу леммы 6.4. С помощью формулы (11.25) получим

Таким образом, решение рассматриваемой задачи можно записать в виде

где

Функция называется функцией Грина задачи Неймана для уравнения теплопроводности на полупрямой.

Отметим, что в случае непрерывной при функции и выполнении условия согласования формула (11.26) определяет классическое решение задачи (11.6) — (11.8) с граничными условиями Неймана Если эти условия не выполнены, то функция удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности в ограничена в и непрерывно при примыкает к функции только в точках ее непрерывности. Если условия согласования не выполнены, то граничное условие выполняется лишь при

С помощью функции Грина выражается решение задачи Неймана для неоднородного уравнения теплопроводности на полупрямой с однородными начальным и граничным условиями

Решение задачи выписывается в виде

причем формулу (11.28) можно получить, воспользовавшись интегральным преобразованием Фурье на полупрямой с ядром

Физический смысл функции ясен из формулы (11.27). Функция Грина представляет собой температуру в точке х положительной полуоси в момент времени если в начальный момент времени в точке мгновенно выделяется количество тепла, равное а поток тепла через сечение все время равен нулю, для чего в точку нужно поместить мгновенный точечный положительный источник мощностью

Доказанная лемма позволяет использовать метод продолжения в случае однородных граничных условий более сложного вида. Рассмотрим, например, начально-краевую задачу на полупрямой для однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями третьего рода:

Предположим, что функция удовлетворяет условию согласования начального и граничного условий:

Согласно лемме 6.4 нужно так продолжить функцию на отрицательную полуось, чтобы была нечетной функция где - продолжение функции на всю ось. Очевидно, при Для определения функции при отрицательных значениях аргумента получим задачу Коши

где решение которой имеет вид

Итак, функция определяется следующим образом:

Записывая решение задачи (11.29) в виде интеграла Пуассона (11.11), где функция определяется формулой (11.30):

после преобразований получим

В результате получается выражение для функции Грина третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой:

или с учетом формулы (7.16)

Функцию Грина можно записать также в следующем виде:

Последняя формула имеет наглядный физический смысл: для удовлетворения граничному условию третьего рода нужно поместить в точку симметричный источник и добавить распределенные на отрицательной части действительной оси от до непрерывно распределенные источники, мощность которых экспоненциально стремится к нулю при

С помощью построенной функции Грина решение третьей начально-краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями третьего рода:

может быть записано в виде