4. Схема метода обратной задачи

1) Прямая и обратная задачи рассеяния

Одним из методов интегрирования уравнения Кортевега — де Фриза является метод обратной задачи. В этом методе для интегрирования нелинейного уравнения необходимо последовательно решить две линейные задачи. При этом оказалось, что с уравнением (12.17) тесно связано дифференциальное уравнение

которое в физической литературе часто называется стационарным уравнением Шредингера с потенциалом Функция зависит от как от параметра, в (12.19) — числовой параметр.

Приведем некоторые необходимые сведения об уравнении (12.19).

Определение. Функцию будем называть быстроубывающей, если

Ниже будем предполагать, что потенциал является быстроубывающим.

Для уравнения (12.19) рассмотрим две задачи. Первая из них состоит в нахождении таких значений при которых уравнение (12.19) имеет нетривиальные решения

Вторая — в нахождении при ограниченных решений уравнения (12.19) с заданным характером асимптотического поведения при

Здесь и функции подлежат определению. С физической точки зрения рассмотренные задачи можно трактовать следующим образом. Первую задачу — как задачу о нахождении собственных значений (квантовомеханических уровней энергии) так называемых связанных состояний, определяемых нормируемыми на единицу в волновыми функциями Вторую — как задачу рассеяния плоской волны единичной амплитуды на потенциале Коэффициенты трактуются при этом как коэффициенты отражения и прохождения соответственно, причем

Первая задача для (12.19) может иметь решение лишь при при этом эти решения имеют при асимптотику следующего вида:

где собственное значение. Таким образом, для нормированных на единицу в собственных функций отвечающих собственным значениям величины определяются из равенства

Предположим теперь, что обе задачи для уравнения (12.19) решены и определены совокупности Эти совокупности принято называть данными рассеяния. Отыскание их для заданного потенциала составляет прямую задачу рассеяния.

Пусть нам известны данные рассеяния для некоторого потенциала Поставим теперь задачу об отыскании по заданным данным рассеяния соответствующего потенциала. Эта задача носит название обратной задачи рассеяния.

Оказывается, что данных рассеяния вполне достаточно для однозначного определения потенциала. Конструктивно процедура его нахождения выглядит следующим образом.

По данным рассеяния строится функция

называемая ядром уравнения Гельфанда-Левитана, а затем ищется решение следующего линейного интегрального уравнения:

Решив уравнение Гельфанда-Левитана (12.24), по формуле

определяем функцию которая и является искомым потенциалом и тем самым решением обратной задачи рассеяния.

2) Схема метода

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (12.17):

Решение задачи Коши (12.26) назовем быстроубывающим, если функция и все ее производные по до третьего порядка включительно являются быстроубывающими функциями.

Возможность использования обратной задачи рассеяния для построения быстроубывающих решений (12.26) основана на следующих теоремах.

Теорема 7.7. Если потенциал в (12.19) является быстроубывающим решением уравнения Кортевега—де Фриза, то собственные значения не зависят от времени

Теорема 7.8. Если потенциал в (12.19) является быстроубывающим решением уравнения Кортевега—де Фриза, то данные рассеяния зависят от времени следующим образом:

Пусть быстроубывающее решение задачи (12.26), отвечающее быстроубывающей функции Тогда данные рассеяния для этой функции рассматриваемой как потенциал в (12.19), связаны с данными рассеяния для потенциала формулами (12.27). Следовательно, зная данные рассеяния для можно по формулам (12.27) найти данные рассеяния для и затем, построив и решив уравнения Гельфанда-Левитана, определить функцию

Таким образом, мы приходим к следующей схеме отыскания быстроубывающих решений (12.26).

Рассматривая уравнение

определяем данные рассеяния начального условия Затем по формулам (12.27) определяем и с помощью этих функций строим ядро уравнения Гельфанда-Левитана

Решив далее уравнение Гельфанда-Левитана (12.24) с ядром (12.28), по формуле (12.25) определяем решение задачи Коши (12.26) для уравнения Кортевега - де Фриза.

Итак, интегрирование уравнения Кортевега — де Фриза с начальным условием в классе быстроубывающих функций сводится к последовательному решению двух линейных задач: прямой задачи рассеяния для потенциала уравнения Гельфанда-Левитана (12.24) с ядром (12.28).