Складывая (4.2) и (4.3) и вводя обозначение
получим
Выберем функцию 
так, чтобы 
Тогда решение задачи (4.1) можно представить в виде
Определение. Функция 
называется функцией Грина оператора 
и для внутренней задачи Дирихле в области 
если она удовлетворяет условиям:
где 
решение уравнения 
всюду в 
Вопрос о построении функции Грина сводится к решению однородного уравнения
со специальным граничным условием на 
где 
Аналогичным образом вводится функция Грина для второй и третьей краевых задач.
Отметим (без доказательства), что функция Грина краевой точки для оператора 
в области 
существует только в том случае, когда 
не совпадает ни с одним собственным значением соответствующей задачи Штурма-Лиувилля в области 
т. е. область 
для которой строится функция Грина, является нерезонансной для данного значения 
Функция Грина для оператора 
определяется аналогично. Но для этого оператора функция Грина существует при всех х для любой поверхности Ляпунова. Это связано с тем,
что оператор Лапласа для первой, второй и третьей краевых задач (третьей — при 
отрицательных собственных значений не имеет.
вводится так же, как и для оператора Лапласа. На примере задачи Дирихле кратко напомним, как это можно сделать, и отметим некоторые особенности.
можно представить в 
регулярное в 
решение однородного уравнения 
Применяя к 
вторую формулу Грина, получим
