2. Собственные функции цилиндра

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для прямого кругового цилиндра Введем цилиндрическую систему координат с началом в центре нижнего основания цилиндра и осью направленной вдоль оси цилиндра. Напомним, что оператор Лапласа в цилиндрической системе координат имеет вид

где оператор Лапласа на плоскости. Задача Штурма— Лиувилля имеет вид

Решение будем строить методом разделения переменных, отделяя переменную

Подставляя (7.24) в уравнение (7.21), записанное в цилиндрической системе координат, и разделяя переменные, получим

С учетом граничных условий (7.22)-(7.23) для определения имеем следующие задачи Штурма-Лиувилля:

Первая задача есть задача определения собственных функций и собственных значений отрезка, вторая — задача определения собственных функций и собственных значений круга. Первая решена в § 8 гл. III, вторая — в предыдущем пункте.

Следовательно, собственные функции цилиндра имеют вид

а собственные значения вычисляются по формуле

где - собственные значения круга при граничных условиях (7.22), собственные функции и собственные значения соответственно отрезка, при граничных условиях (7.23).