§ 2. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ФОРМУЛЫ ГРИНА

В дальнейшем в нашем курсе широко используются формулы, которые называются формулами Грина. Выведем первую и вторую формулы Грина для общего эллиптического оператора.

Пусть область ограничена гладкой замкнутой поверхностью Напомним, что поверхность называется гладкой, если в каждой точке ее существует касательная плоскость (или нормаль) и при переходе от точки к точке положение этой касательной плоскости (нормали) меняется непрерывно. Пусть в области задана векторная функция которая непрерывна в и имеет непрерывные первые производные в Тогда для нее справедлива формула Гаусса-Остроградского

где единичный вектор нормали к поверхности внешней по отношению к области

Формулу Гаусса-Остроградского используем для вывода формул Грина.

Пусть в области заданы функции и и непрерывные вместе с первыми производными в и имеющие непрерывные вторые производные в Введем дифференциальный оператор

где функции непрерывны в функция непрерывно дифференцируема в

Рассмотрим интеграл

Учитывая, что

и используя формулу (2.1), получим

Формула (2.2) называется первой формулой Грина.

Поменяем в формуле (2.2) функции и и местами:

Вычитая (2.3) из (2.2), получим вторую формулу Грина

Отдельно выпишем формулы Грина для случая, когда