Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть в некоторой внутренней точке 
области 
решение 
уравнения 
достигает своего положительного максимального значения:
Следовательно, в этой точке
Рассматривая уравнение 
во внутренней точке 
и учитывая (2.9) и (2.10), убеждаемся, что оно в точке 
выполняться не может. Это противоречие показывает, что исходное предположение неверно. 
Замечание. Аналогичным образом доказывается невозможность достижения во внутренних точках отрицательного минимального значения.
Принцип максимума удобно записать в следующем виде: всюду в 
справедливы неравенства
Заметим, что принцип максимума справедлив и для общего эллиптического уравнения дивергентного вида:
при 
Доказательство его проводится так же, как в предыдущей теореме.
принцип максимума имеет место только при 
При 
принцип максимума несправедлив, в чем легко убедиться на конкретном примере. Действительно, в круге 
решением уравнения 
является функция 
имеющая абсолютный максимум при 
(в центре круга).
определенное и непрерывное в замкнутой области 
не может достигать во внутренних точках области 
положительных максимальных и отрицательных минимальных значений.
