3. Производящая функция классических ортогональных полиномов

Мы ввели классические ортогональные полином мы как ортогональную с весом на отрезке систему полиномов, для которой вес подчинен определенным условиям. С другой стороны, мы установили, что классические ортогональные полиномы можно ввести как собственные функции-задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке Возможен еще один способ введения классических ортогональных полиномов с помощью производящей функции.

Определение. Производящей функцией классических ортогональных полиномов называется функция разложение которой в ряд Тейлора при достаточно малых имеет вид

где

Получим производящую функцию классических ортогональных полиномов. Будем исходить из обобщенной формулы Родрига (3.16). Заметим, что в силу формулы (3.5) функция является аналитической функцией комплексной переменной в окрестности отрезка действительной оси комплексной плоскости Воспользуемся для ее производной интегральным представлением Коши

где интеграл берется по контуру, содержащему точку внутри себя. Из формул (3.16) и (3.19) вытекает, что

Подставляя (3.20) в (3.18) и меняя порядок интегрирования и суммирования, получим

При достаточно малом

и окончательно

При подынтегральная функция в (3.21) имеет внутри контура С единственный простой полюс Следовательно, по непрерывности, при достаточно малых контур С всегда можно выбрать так, что внутри него будет находиться единственный простой полюс являющийся корнем уравнения

Очевидно, где означает тот корень уравнения (3.22), который при малых близок к

Вычисляя интеграл в (3.21) с помощью вычетов, получим общее выражение производящей функции классических ортогональных полиномов:

где — корень уравнения (3.22).

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных систем классических ортогональных полиномов, наиболее важных для приложений.