3. Собственные функции шара
Теперь построим собственные функции шара 
Введем сферическую систему координат 
с началом в центре шара. Оператор Лапласа в сферической системе имеет вид
где 
- сферический оператор Лапласа, равный
Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для шара:
Решение строим методом разделения переменных, отделяя радиальную переменную 
Подставляя (7.28) в уравнение (7.26), записанное в сферической системе координат, и разделяя переменные, получим
Собственные функции должны быть ограничены в 
и периодичны по 
с периодом 
Поэтому из (7.29) для функции 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
собственными функциями которой являются сферические функции
а собственные значения равны
Для каждого 
из (7.29) получаем уравнение для 
решение которого должно удовлетворять согласно (7.27) граничному условию при 
и естественному условию ограниченности при 
С помощью замены
задача для 
приводится к следующей задаче Штурма-Лиувилля:
Общее решение уравнения (7.31) имеет вид (ср. 
Учитывая поведение функций Неймана в нуле и условие ограниченности (7.33), находим
Будем считать 
Для определения X из (7.32) получаем дисперсионное уравнение
Пусть 
Тогда функцию 
можно записать в виде
где 
корень уравнения
при фиксированном 
Таким образом, собственная функция шара имеет вид
а собственные значения равны
где 
корни уравнения (7.34).
Видно, что каждому собственному значению 
соответствует 
линейно независимая собственная функция 
Найдем норму собственных функций:
Значение 
дается формулами (5.10) или (5.11). Вычислим 
(использована формула (7.17)).
Рассмотрим, как и для круга, отдельно первую, вторую и третью краевые задачи.
Для задачи Дирихле 
собственные значения определяются уравнением
Поэтому
Для задачи Неймана 
собственные значения определяются уравнением
Следовательно,
Для третьей краевой задачи 
собственные значения X определяются уравнением
Выражение для квадрата нормы, так же как и для круга, для третьей краевой задачи можно записать по-разному:
или
Формула (7.39) удобна при малых, а формула 
—при больших 
