3. Собственные функции шара

Теперь построим собственные функции шара Введем сферическую систему координат с началом в центре шара. Оператор Лапласа в сферической системе имеет вид

где - сферический оператор Лапласа, равный

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для шара:

Решение строим методом разделения переменных, отделяя радиальную переменную

Подставляя (7.28) в уравнение (7.26), записанное в сферической системе координат, и разделяя переменные, получим

Собственные функции должны быть ограничены в и периодичны по с периодом Поэтому из (7.29) для функции получаем задачу Штурма-Лиувилля

собственными функциями которой являются сферические функции

а собственные значения равны

Для каждого из (7.29) получаем уравнение для

решение которого должно удовлетворять согласно (7.27) граничному условию при

и естественному условию ограниченности при

С помощью замены

задача для приводится к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

Общее решение уравнения (7.31) имеет вид (ср.

Учитывая поведение функций Неймана в нуле и условие ограниченности (7.33), находим

Будем считать Для определения X из (7.32) получаем дисперсионное уравнение

Пусть Тогда функцию можно записать в виде

где корень уравнения

при фиксированном

Таким образом, собственная функция шара имеет вид

а собственные значения равны

где корни уравнения (7.34).

Видно, что каждому собственному значению соответствует линейно независимая собственная функция

Найдем норму собственных функций:

Значение дается формулами (5.10) или (5.11). Вычислим

(использована формула (7.17)).

Рассмотрим, как и для круга, отдельно первую, вторую и третью краевые задачи.

Для задачи Дирихле собственные значения определяются уравнением

Поэтому

Для задачи Неймана собственные значения определяются уравнением

Следовательно,

Для третьей краевой задачи собственные значения X определяются уравнением

Выражение для квадрата нормы, так же как и для круга, для третьей краевой задачи можно записать по-разному:

или

Формула (7.39) удобна при малых, а формула —при больших