3. Собственные функции шара
Теперь построим собственные функции шара
Введем сферическую систему координат
с началом в центре шара. Оператор Лапласа в сферической системе имеет вид
где
- сферический оператор Лапласа, равный
Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для шара:
Решение строим методом разделения переменных, отделяя радиальную переменную
Подставляя (7.28) в уравнение (7.26), записанное в сферической системе координат, и разделяя переменные, получим
Собственные функции должны быть ограничены в
и периодичны по
с периодом
Поэтому из (7.29) для функции
получаем задачу Штурма-Лиувилля
собственными функциями которой являются сферические функции
а собственные значения равны
Для каждого
из (7.29) получаем уравнение для
решение которого должно удовлетворять согласно (7.27) граничному условию при
и естественному условию ограниченности при
С помощью замены
задача для
приводится к следующей задаче Штурма-Лиувилля:
Общее решение уравнения (7.31) имеет вид (ср.
Учитывая поведение функций Неймана в нуле и условие ограниченности (7.33), находим
Будем считать
Для определения X из (7.32) получаем дисперсионное уравнение
Пусть
Тогда функцию
можно записать в виде
где
корень уравнения
при фиксированном
Таким образом, собственная функция шара имеет вид
а собственные значения равны
где
корни уравнения (7.34).
Видно, что каждому собственному значению
соответствует
линейно независимая собственная функция
Найдем норму собственных функций:
Значение
дается формулами (5.10) или (5.11). Вычислим
(использована формула (7.17)).
Рассмотрим, как и для круга, отдельно первую, вторую и третью краевые задачи.
Для задачи Дирихле
собственные значения определяются уравнением
Поэтому
Для задачи Неймана
собственные значения определяются уравнением
Следовательно,
Для третьей краевой задачи
собственные значения X определяются уравнением
Выражение для квадрата нормы, так же как и для круга, для третьей краевой задачи можно записать по-разному:
или
Формула (7.39) удобна при малых, а формула
—при больших