2. Формула Даламбера

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения колебаний:

Предположим, что существует классическое решение задачи (7.3), (7.4). Преобразуем уравнение колебаний (7.3) к каноническому виду, содержащему смешанную производную (см. гл II). Уравнение характеристик уравнения (7.3) имеет вид

и распадается на два уравнения:

Характеристиками являются два семейства прямых:

где некоторые постоянные.

Введем новые переменные

Тогда уравнение колебаний (7.3) преобразуется к виду

где

Найдем общий интеграл уравнения (7.5). Для всякого решения уравнения (7.5) получаем

где функция одного переменного Интегрируя последнее равенство по при фиксированном получим

где функция является функцией только переменного , а функция только переменного Верно и обратное: каковы бы ни были дифференцируемые функции функция определяемая формулой (7.6), представляет собой решение уравнения (7.5). Так как всякое решение уравнения (7.5) может быть представлено в виде (7.6) при определенном выборе функций то формула (7.6) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция

является общим интегралом уравнения (7.3).

Определим функции и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (7.4):

где штрих означает производную по полному аргументу соответствующей функции.

Обозначим аргументы функций через ?. Тогда, интегрируя второе из равенств (7.7), получим

где и С — некоторые постоянные.

Вычитая и складывая равенства (7.8), получим

причем последние два равенства должны выполняться при любом значении аргумента Подставляя найденные выражения (7.9) для функций при значении их аргументов соответственно для для в формулу (7.6), получим

Заметим, что постоянные входящие в формулы (7.9) в выражении (7.10) для решения исходной задачи сократились.

Формула (7.10) называется формулой Даламбера.