7. Разрыв потенциала двойного слоя

Выше была доказана сходимость несобственного интеграла (6.8) в точках поверхности, но не равномерная сходимость этого несобственного интеграла по параметру в пространстве.

При получении оценок (6.9), (6.10) существенным было условие, что точка лежит на поверхности Для точки даже при ее достаточной близости к точке полученные оценки не имеют места. Поэтому интеграл (6.8) не является равномерно сходящимся по параметру в точке Тем самым нельзя утверждать, что, так же как и потенциал простого слоя, потенциал двойного слоя является непрерывной функцией во всем пространстве.

В отличие от потенциала простого слоя потенциал двойного слоя претерпевает разрыв при переходе через поверхность. Покажем это и определим величину разрыва.

Рассмотрим сначала потенциал двойного слоя с постоянной плотностью

Будем считать, что поверхность замкнутая. Тогда интеграл (6.11) легко вычисляется. Для вычисления его применим третью формулу Грина, положив в ней Тогда получим

Введем следующие обозначения: — значение потенциала двойного слоя, когда точка лежит на поверхности т. е. прямое значение потенциала в точке предельное значение потенциала в точке на поверхности изнутри, т. е.

предельное значение потенциала в точке на поверхности снаружи:

Потенциала двойного слоя с постоянной плотностью согласно (6 12) является кусочно-постоянной функцией. Формулу (6 12) можно переписать в виде

Рассмотрим теперь потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью и покажем, что для него справедливы формулы, аналогичные (6.13).

Пусть произвольная точка поверхности Потенциал двойного слоя с плотностью представим в виде

Второе слагаемое представляет собой потенциал двойного слоя с постоянной плотностью свойства которого нам уже известны. Докажем, что первое слагаемое есть функция, непрерывная в точке Для этого достаточно доказать равномерную сходимость по параметру интеграла в точке Возьмем произвольное Из непрерывности Ьункции в точке следует, что для любого существует такая окрестность точки на поверхности что

Оценим интеграл по

В силу (6.12) при достаточно малом

Поэтому получаем

что означает равномерную сходимость интеграла в точке Значит, функция непрерывна в точке

Таким образом, разрывные свойства потенциала двойного слоя в точке согласно (6.14) определяются вторым слагаемым Перейдем к пределу в (6.14) при Сохраняя прежние обозначения и используя свойства потенциала с постоянной плотностью, получим

где прямое значение в точке поверхности

Таким образом, потенциал двойного слоя при переходе через поверхность претерпевает разрыв, и величина этого разрыва определяется формулами

Последняя формула определяет величину скачка потенциала двойного слоя при переходе точки через поверхность в точке Заметим, что в случае переменной плотности при скачок потенциала двойного слоя в точке оказывается равным нулю.

Если поверхность не является замкнутой, то поступим следующим образом. Дополним поверхностью так, чтобы была замкнутой поверхностью Ляпунова. На плотность доопределим нулем. Ясно, что проведенные выше рассуждения справедливы во всех точках непрерывности функции Поэтому формулы (6.15) — (6.17) справедливы во всех точках поверхности кроме ее края.

На плоскости потенциал двойного слоя исследуется аналогично. Окончательные формулы, определяющие разрыв потенциала двойного слоя при переходе через кривую С, имеют вид