4. Физическая интерпретация решения

Функция определяемая формулой (7.10), представляет процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать некоторый момент времени то функция дает профиль струны в момент времени Зафиксировав точку мы получим функцию которая описывает процесс движения точки Предположим теперь, что некоторый наблюдатель, находившийся в точке в момент времени движется со скоростью а в положительном направлении оси х. Введем систему координат связанную с наблюдателем. Для этого положим

В системе координат функция определяется формулой т. е. наблюдатель все время видит тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция представляет собой неизменный профиль который перемещается вправо (в положительном направлении оси со скоростью а. Иными словами, функция представляет собой бегущую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси скоростью а. Для краткости мы будем называть ее правой бегущей волной. Аналогично функция представляет собой бегущую волну, распространяющуюся со скоростью а в отрицательном направлении оси х, т. е. левую бегущую волну.

Таким образом, общее решение (7.6) задачи Коши для бесконечной струны (7.3), (7.4) есть суперпозиция двух бегущих волн: правой волны

и левой волны

где функция имеет вид

а — некоторая постоянная.

Для выяснения характера решения (7.6) задачи К (7.3), (7.4) удобно пользоваться плоскостью состояния или фазовой плоскостью. Как было отмечено в где некоторые постоянные, являются характеристиками уравнения (7 3). Функция вдоль характеристики сохраняет постоянное значение функция постоянна вдоль характеристики и равна

Пусть функция отлична от нуля в интервале и равна нулю вне этого интервала. Проведем на фазовой плоскости через точки соответственно характеристики Эти характеристики разбивают верхнюю полуплоскость фазовой плоскости на три области (рис. 7.1). Функция

отлична от нуля только в области II, где выполняются неравенства

В областях I и III выполняются соответственно неравенства и функция равна нулю. Характеристика представляет собой передний фронт правой бегущей волны а характеристика ее задний фронт. Аналогичным образом можно дать интерпретацию левой бегущей волны на фазовой плоскости

Выберем на фазовой плоскости некоторую фиксированную точку и проведем через нее характеристики Эти характеристики пересекут ось х соответственно в точках (рис. 7.2). Значение функции (7.6) в точке равно

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Таким образом, значение функции в точке определяется значениями функций в точках соответственно, являющихся вершинами треугольника образованного отрезками двух характеристик и отрезком оси х (см. рис. 7.2). Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки формулы Даламбера (7.10) видно, что отклонение точки струны в момент времени зависит только от значений начального отклонения в вершинах характеристического треугольника и от значений начальной скорости на стороне Поэтому формулу (7.10) удобно переписать так:

Начальные данные заданные вне отрезка не оказывают влияния на значения функции в точке Физически это связано с конечной скоростью распространения возмущения вдоль колеблющейся струны.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть начальные скорости равны нулю: а начальное отклонение струны является локальным, т. е. отличным от нуля на отрезке и равным нулю вне этого отрезка. Пусть, например, функция имеет следующий вид:

Обратимся снова к фазовой плоскости. Проведем через точки правые и левые характеристики. Эти характеристики разобьют верхнюю полуплоскость фазовой плоскости на шесть областей (рис. 7.3). Рассмотрим, чему будет равно отклонение струны в каждой из этих областей.

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Так как начальная скорость равна нулю из формулы Даламбера (7.10) следует, что отклонение струны в каждой из областей есть сумма левой и правой бегущих волн:

Из формулы (7.14) следует, что в областях I, III и V отклонение равно нулю.

В самом деле, если взять в любой из этих областей точку и построить для нее характеристический треугольник, то вершины при основании этого треугольника на оси лежат вне отрезка на котором функция начальных условий отлична от нуля. Из аналогичных построений вытекает, что в области II будет существовать только правая

волна и а в области IV — левая волна Если, наконец, построить характеристический треугольник для любой точки области VI, то обе вершины при основании этого треугольника будут находиться в пределах отрезка Следовательно, в области VI отклонение будет представлять собой сумму правой и левой волн (7.15).

Итак, в различных областях отклонения будут иметь следующий вид:

т. e. в этой области суперпозиция правой и левой бегущих волн дает стоячую волну.

Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим случай, когда начальное отклонение тождественно равно нулю а начальная скорость отлична от нуля и равна постоянной только в -окрестности точки

В этом случае из формулы Даламбера (7.10) следует, что возмущение струны можно записать следующим образом:

Снова рассмотрим фазовую плоскость и проведем через точки характеристики, которые разобьют верхнюю полуплоскость на шесть областей (рис. 7.4).

В области I выполнены неравенства Поэтому согласно формуле (7.16) подынтегральная функция в интеграле (7.17) равна нулю и

В области II выполнены неравенства и согласно формулам (7.16) и (7.17) будем иметь

правую бегущую волну, профиль которой при фиксированном линейно изменяется от до 0 при

В области III выполнены неравенства откуда

Тем самым в области III смещение точек струны не зависит ни от ни от

В области IV имеем неравенства и

т. е. в области IV существует левая бегущая волна.

В области V выполнены неравенства поэтому согласно (7.16) подынтегральная функция в интеграле (7.17) равна нулю и

Наконец, в области VI имеем неравенства откуда

Таким образом, смещение всех точек х струны, попавших в эту область, линейно растет во времени, достигая в точке в момент времени (точка фазовой плоскости принадлежит областям II, III, IV и VI одновременно) значения т. е. значения постоянного смещения точек струны в области III фазовой плоскости. Отметим, что эффект постоянного смещения точек струны в области III фазовой плоскости при локальном возбуждении начальной скоростью очевиден, поскольку пределы интегрирования в формуле (7.18) не зависят ни от ни от

Если начальная скорость удовлетворяет условию то эффекта последействия нет, в противном случае точки струны получают постоянное смещение, расплывающееся по струне в обе стороны со скоростью а вдоль характеристик

Замечание. В рассмотренных примерах начальные данные не удовлетворяют условиям гладкости, которые были сформулированы в теореме существования классического

решения задачи Коши. Однако в силу доказанной выше теоремы устойчивости проведенное рассмотрение вполне правомерно, поскольку оно дает качественную картину поведения классического решения с гладкими начальными условиями, сколь угодно точно аппроксимирующими рассмотренные разрывные начальные функции в формуле Даламбера (см. замечание к п. 3).