8. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя

Потенциал простого слоя вне поверхности имеет производные всех порядков. Исследуем поведение нормальной производной потенциала простого слоя при переходе через поверхность Плотность потенциала будем считать непрерывной на поверхности функцией.

Пусть произвольная точка поверхности внешняя единичная нормаль в точке Рассмотрим производную потенциала простого слоя по направлению

и исследуем ее поведение при Подробно разберем только тот случай, когда точка стремится к точке по направлению нормали

Учитывая, что функция зависит лишь от разности координат точек формулу (6.18) можно переписать в виде

(так как ), где - внешняя единичная нормаль к поверхности в точке

Второе слагаемое в (6.19) есть потенциал двойного слоя с плотностью

свойства которого уже исследованы. Поэтому

Покажем, что функция непрерывна в точке Для этого оценим подынтегральную функцию в окрестности точки

так как

Поскольку

где у — угол между нормалями в точках то

так как для поверхности Ляпунова Полученная оценка обеспечивает непрерывность интеграла в точке когда стремится к по нормали Следовательно, функция непрерывна в точке

Таким образом, разрывные свойства согласно (6.20) определяются вторым слагаемым Используя формулы (6.15), (6.16) для потенциала двойного слоя, из (6.20) получаем

где прямое значение нормальной производной в точке Аналогичным образом

Введем обозначения: внутреннее предельное значение нормальной производной [потенциала простого слоя; внешнее предельное значение нормальной производной потенциала простого слоя. Если поверхность незамкнутая, то внутренняя и внешняя стороны поверхности определяются выборам внешней нормали.

Тогда разрывные свойства нормальной производной потенциала простого слоя можно описать следующими формулами:

Формулы для производной по внутренней нормали отличаются от полученных лишь знаком у вторых слагаемых.

Отметим, что при более жестких условиях на функцию можно показать, что формулы (6.21) — (6.23) справедливы при любом способе стремления точки к точке (за исключением направления, касательного к поверхности

Заметим, что из формулы (6.18) можно получить для нормальной производной потенциала простого слоя выражение вида

где угол между нормалью к поверхности в точке на которой находится точка и вектором

На плоскости нормальная производная потенциала простого слоя также разрывна при переходе через кривую С, и формулы, определяющие величину разрыва, имеют вид

Рассмотренные свойства поверхностных потенциалов были получены при условии, что функции и являются ограниченными и непрерывными на поверхности (или кривой С в двумерном случае). Это условие можно ослабить. Более детальные исследования показывают, что основные свойства поверхностных потенциалов сохраняются и в том случае, когда функции квадратично интегрируемы на При этом соответствующие поверхностные интегралы остаются гармоническими функциями вне 5, а полученные выражения для их предельных значений выполняются почти всюду на .