3. Поверхностные потенциалы

Обычно рассматриваются поверхностные потенциалы двух типов: потенциал простого слоя и потенциал двойного слоя.

Потенциалом простого слоя называется интеграл вида

где — некоторая поверхность, функция, заданная на поверхности функция называется плотностью потенциала простого слоя. Очевидно, поверхностный потенциал простого слоя можно физически интерпретировать как потенциал, создаваемый зарядом, распределенным на поверхности с поверхностной плотностью

В двумерном случае (на плоскости) потенциал простого слоя имеет вид

где С — некоторая кривая.

Потенциалом двойного слоя в трехмерном случае называется интеграл вида

где — двусторонняя поверхность, внешняя нормаль к поверхности в точке (в том случае, когда поверхность незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), функция, заданная на поверхности функция называется плотностью потенциала двойного слоя. Еще раз подчеркнем, что потенциал двойного слоя определяется только для двусторонней поверхности.

Вычисляя значение нормальной производной функции в точках поверхности получим для потенциала двойного слоя выражение

где угол между внутренней нормалью к поверхности в точке и вектором

Чтобы дать физическую интерпретацию потенциала двойного слоя, рассмотрим потенциал, создаваемый двумя точечными зарядами противоположных знаков помещенных в точки лежащие на нормали к поверхности в точке с разных сторон от этой поверхности, причем точка находится на внутренней нормали к поверхности Очевидно, значение этого потенциала в любой точке равно

Рис. 5.1

Устремим точки к точке одновременно увеличивая величину заряда так, чтобы величина где расстояние между точками оставалась постоянной. Так как то в пределе при для получим выражение

Поэтому ядро интеграла (6.3) можно физически интерпретировать как потенциал, создаваемый вне точки помещенным в эту точку диполем с дипольным моментом направленным по внешней нормали к поверхности в точке При этом сам потенциал двойного слоя (6.3) представляет собой потенциал двусторонней заряженной поверхности с плотностью поверхностного распределения дипольного момента, задаваемой функцией

На плоскости потенциал двойного слоя имеет вид

где внешняя нормаль к кривой С в точке угол между внутренней нормалью в точке и вектором В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали, так же как и в трехмерном случае, выбирается произвольно.

Перейдем к исследованию свойств поверхностных потенциалов. Из их определения следует, что в том случае, когда точка не принадлежит поверхности (или кривой С), потенциалы имеют производные всех порядков, которые можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, и являются гармоническими функциями

Отметим также, что при для поверхностных потенциалов в случае ограниченной поверхности справедливы оценки в трехмерном случае:

в плоском случае:

Потенциал простого слоя в плоском случае

на бесконечности является, вообще говоря, неограниченной функцией и возрастает как Если же его плотность удовлетворяет условию

то

Действительно, введем полярную систему координат, и пусть Тогда

при (использовано соотношение при Следовательно,

В дальнейшем свойства поверхностных потенциалов будем рассматривать в трехмерном случае, а для плоского случая формулировать только окончательные результаты.