3. Краевой режим

Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием и неоднородным граничным условием Дирихле:

где некоторая постоянная.

Решение задачи (11.31) — (11.34) можно получить, используя интегральное преобразование Фурье с ядром Мы используем для решения задачи метод преобразования Лапласа.

Пусть для функции и решения задачи (11.31) — (11.34) выполнены условия существования преобразования Лапласа. Рассмотрим преобразование Лапласа по переменной от функции обозначив ее изображение через

Для классического решения выполнены условия дифференцирования под знаком интеграла (11.35). Поэтому получим

Изображение функции обозначим через

Используя теорему об изображении производной и учитывая начальное условие (11.33), получим

Таким образом, в пространстве изображений (11.31) — (11.34) соответствует следующая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения:

где играет роль параметра.

Решение задачи (11.36) — (11.38) имеет вид

Для восстановления оригинала по изображению можно воспользоваться формулой Меллина. Мы используем иной прием.

Обозначим через оригинал изображения и предположим, что функция удовлетворяет дополнительному условию Тогда, используя теорему об изображении производной, получим следующую связь между изображением и оригиналом производной

Применяя теорему об изображении свертки, будем иметь

Полученное представление решения начально-краевой задачи (11.31) -(11.34) в виде

носит название интеграла Дюамеля.

Для определения функции воспользуемся следующим приемом. Так как изображение единицы равно и поскольку из вида изображения функции следует, что получим Следовательно, функция является решением следующей начально-краевой задачи:

Заметим, что, поскольку в задаче для определения функции не выполнены условия согласования начального и граничного условий, эта функция не является классическим решением: в окрестности точки она не обладает свойством непрерывности по совокупности переменных

Введем функцию Очевидно, эта функция может быть определена как не классическое решение начальнокраевой задачи:

Решение этой задачи выписывается через функцию Грина по формуле (11.21):

Сделав в первом интеграле в правой части формулы (11.41) замену а во втором — замену после преобразований получим

Отсюда

и

Из формул (11.40) и (11.43) окончательно получим формулу, выражающую решение начально-краевой задачи (11.31) — (11.34):

и

Изложенный прием построения начально-краевой задачи с неоднородным граничным условием в виде интеграла Дюамеля (11.41) является частным случаем общего метода решения данного класса линейных начально-краевых задач, известного под названием принципа Дюамеля.