§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

Для решения краевых задач для оператора Лапласа часто используется метод функции Грина (функции источника). В этом параграфе вводится функция Грина для оператора Лапласа, рассматриваются ее простейшие свойства и некоторые методы ее построения.

1. Функция Грина внутренней задачи Дирихле оператора Лапласа

Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле

Будем искать решение, удовлетворяющее условию

Поставим себе цель — получить интегральное представление для решения этой задачи.

Согласно третьей формуле Грина непрерывная вместе с первыми производными в замкнутой области функция имеющая непрерывные в вторые производные, в любой внутренней точке области может быть представлена в виде

(для определенности рассматривается трехмерный случай).

Пусть гармоническая в функция, непрерывная вместе с первыми производными в Применяя к вторую формулу Грина в получим

Складывая (4.2) и (4.3) и вводя обозначение

получим представление для функции

Поскольку в задаче (4.1) известно значение и а - не задано, наложим на функцию дополнительное условие

Тогда (4.4) дает

Определение. Функция называется функцией Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа, если она удовлетворяет следующим условиям:

где гармоническая всюду в функция;

Функции Грина различных операторов будут неоднократно встречаться в нашем курсе. Поэтому сделаем несколько замечаний по данному определению. Первое условие означает, что является фундаментальным решением оператора Лапласа. Второе условие отражает тип граничных условий, для которых строится функция Грина.

Если функция Грина существует, то решение задачи (4.1) формально может быть записано в виде

При этом следует иметь в виду, что формула (4.6) получена с помощью формулы Грина, предполагающей выполнение определенных условий в отношении функций и и и поверхности Кроме того, формула (4.6) содержит значение существование которого из определения функции не следует.

Для построения функции достаточно найти функцию которая является решением следующей краевой задачи:

В дальнейшем будет показано, что для достаточно широкого класса поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова, задача (4.7) разрешима, т. е. функция Грина существует.

Заметим также, что для построения функции Грина нужно решить задачу Дирихле, но со специальным граничным значением, что во многих случаях значительно проще, чем решение задачи с произвольным граничным значением.

При этом, найдя функцию Грина оператора Лалласа для данной области на основании формулы (4.6) получаем решение целого класса задач Дирихле для уравнения Лапласа в области с произвольными правыми частями и функциями в граничных условиях.

Можно показать, на чем мы здесь не останавливаемся, что формула (4.6) дает классическое решение задачи (4.1) при и

Наконец отметим, что в терминах обобщенных функций функцию Грина можно определить как решение краевой задачи