§ 6. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И НЕОДНОРОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
1. Неоднородное уравнение теплопроводности
Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными начальным и граничным условиями:
Предполагая, что классическое решение задачи (6.1) — (6.3) существует, получим его представление через функцию 
методом Фурье. Заметим, что согласование начального (6.2) и граничного (6.3) условий происходит автоматически.
Общая схема построения методом разделения переменных решения краевых задач для неоднородного уравнения дана в гл. III.
Так как классическое решение является дважды непрерывно дифференцируемой по координатам точки 
функцией, удовлетворяющей однородному граничному условию (6.3), то для него имеет место разложение
где
а 
— ортонормированная система собственных 
задачи Штурма-Лиувилля (4.4).
В силу известных свойств собственных интегралов, зави 
от параметра для коэффициентов 
выполнены условия теоремы о дифференцируемости интеграла по параметру
Следуя схеме, изложенной в § 5 гл. III, подставим разложение (6.4) в уравнение (6.1). После преобразований для коэффициентов 
получим неоднородное дифференциальное уравнение
где
Из формул (6.2) и (6.5) следует также, что
Итак, для коэффициентов 
получается задача Коши
Решение задачи Коши (6.7), (6.8) можно записать с помощью импульсной функции
Подставляя формулу (6.9) в формулу (6.4) и меняя порядок интегрирования и суммирования, получим
где функция Грина 
определяется формулой (5.2). Замечания.
1) Доказательство существования классического решения задачи (6.1) — (6.3) и представление его формулой (6.10) могут быть проведены с помощью метода Фурье для достаточно ткой границы 
области 
и достаточно гладкой в цилиндрической функции 
удовлетворяющей граничным условиям 
Введем понятие фундаментального решения задачи 
как решение задачи
Функция 
является обобщенной функцией и 
