3. Степенной ряд для функций Бесселя

Будем рассматривать случай

Из формул (2.1), (2.2) следует, что уравнение Бесселя имеет особую точку Поэтому его решение можно искать в виде обобщенного степенного ряда (этот метод называется методом Фробениуса)

где и а — некоторая постоянная.

Подставив ряд (2.6) в уравнение (2.1), из требования обращения в нуль в полученном выражении коэффициентов при всех степенях х будем иметь следующие рекуррентные соотношения:

Из первого уравнения (2.7) вытекает, что или

Как легко установить, при выполнено условие

Из второго уравнения (2.7) при следует, что

Условие (2.9) дает согласно уравнению (2.7) рекуррентную формулу

Из формул (2.10) и (2.11) вытекает, что все нечетные коэффициенты равны нулю.

а) Рассмотрим случай Положим в формуле Тогда из (2.11) следует, что

Последовательно применяя формулу (2.12), получим

Решение однородного уравнения Бесселя (2.1) определяется с точностью до произвольного множителя Выберем его в виде

Тогда из формул (2.13) и (2.14) получим

Рассмотрим ряд

С помощью признака Даламбера легко установить, что ряд (2.16) абсолютно сходится для любых х.

Определение. Ряд (2.16) называется функцией Бесселя и обозначается Очевидно, функция является частным решением уравнения Бесселя (2.1) и (2.2).

Функция Бесселя определяемая для вещественного аргумента х рядом (2.16), может быть аналитически продолжена с положительной вещественной полуоси на комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси. При нецелом точка является точкой ветвления функции Полученная функция Бесселя комплексного аргумента является аналитической в области При целом функция Бесселя оказывается аналитической на всей комплексной плоскости т. е. целой функцией комплексной переменной

б) Рассмотрим теперь случай Снова положим в формуле Тогда из формулы (2.9) получим, что т. е. не является целым числом. Положив

и проделав выкладки, аналогичные выкладкам п. а), получим следующее определение.

Определение. Ряд (2.16), соответствующий

называется функцией Бесселя порядка и обозначается

При нецелом функция представляет собой второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от Из формул (2.16) и (2.17) вытекает, что в случае нецелого функции по-разному ведут себя в нуле: функция имеет в нуле ноль порядка, а функция имеет в нуле полюс порядка. Таким образом, при нецелом функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя порядка

При целых значениях индекса определение функции по формуле (2.17) лишено смысла: гамма-функция в знаменателе при отрицательных целочисленных значениях обращается в бесконечность. Продолжим формулу (2.17) по непрерывности по индексу на целые значения Поскольку при суммирование в формуле (2.17) фактически начинается со значения и поэтому

Заменяя в формуле (2.18) индекс суммирования на получаем

Следовательно, при функции оказываются линейно зависимыми:

и не образуют фундаментальной системы.