3. Степенной ряд для функций Бесселя
Будем рассматривать случай
Из формул (2.1), (2.2) следует, что уравнение Бесселя имеет особую точку
Поэтому его решение
можно искать в виде обобщенного степенного ряда (этот метод называется методом Фробениуса)
где
и а — некоторая постоянная.
Подставив ряд (2.6) в уравнение (2.1), из требования обращения в нуль в полученном выражении коэффициентов при всех степенях х будем иметь следующие рекуррентные соотношения:
Из первого уравнения (2.7) вытекает, что
или
Как легко установить, при
выполнено условие
Из второго уравнения (2.7) при
следует, что
Условие (2.9) дает согласно уравнению (2.7) рекуррентную формулу