6. Установившиеся колебания

Рассмотрим в заключение задачу (9.1), (9.2) с нулевыми начальными условиями и правой частью, являющейся периодической функцией времени:

где финитная функция с локальным носителем в области

Формула Пуассона (9.21) дает

Обозначим через соответственно минимальное и максимальное расстояния от точки не принадлежащей носителю функции до носителя:

Тогда, учитывая формулу (9.30), получим

где функция имеет вид

Интеграл в средней строчке формулы (9.31) зависит от поскольку от зависит область интегрирования, в то время как функция от времени не зависит. Следовательно, в каждой точке начиная с момента времени под действием локального периодического возбуждения устанавливаются периодические колебания с той же частотой. Амплитуда этих колебаний определяется формулой (9.32). Средняя строчка формулы (9.31) определяет процесс перехода к установившимся периодическим колебаниям.