2. Принцип предельного поглощения

Условия излучения представляют собой аналитические условия, выделяющие единственное решение. Они удобны в том случае, когда уравнение решается в неограниченном пространстве либо когда граничная поверхность расположена в конечной области. Если граничная поверхность уходит на бесконечность, то может оказаться, что условия излучения в сформулированном виде неприменимы. В этом случае нужно либо сформулировать условия излучения в ином виде, применительно к конкретной задаче, либо пользоваться некоторыми другими принципами выделения единственного решения. Таких принципов несколько. Они состоят не в формулировке дополнительных условий, которому должно удовлетворять решение, а в указании алгоритма, который позволяет выделить нужное решение.

Рассмотрим принцип предельного поглощения. Физические основы принципа предельного поглощения очень наглядны. Ранее было установлено, что решение уравнения

можно рассматривать как амплитуду установившихся гармонических колебаний. Будем исходить из этой же модели, но считать, что колебания (или волны) распространяются в среде с поглощением. Распространение волн в среде с поглощением описывается уравнением

в котором коэффициент характеризует поглощение среды. Предполагая, что правая часть (6.8) имеет вид

будем искать решения (6.8) с той же гармонической зависимостью от времени:

Тогда для комплексной амплитуды установившихся гармонических: колебаний в среде с поглощением получим уравнение

Обозначим Тогда уравнение можно переписать в виде

Таким образом, амплитуда установившихся гармонических колебаний в среде с поглощением описывается уравнением Гельмгольца с комплексным коэффициентом Пусть Тогда

Отсюда находим

Очевидно, что

Уравнение (6.9) имеет два решения:

причем при одно из них экспоненциально стремится к нулю на бесконечности, а другое — неограниченно возрастает. Знак в выражении (6.10) для выберем так, что Тогда решение неограничено на бесконечности, а для ограниченного решения имеем

при получается решение уравнения соответствующее уходящей на бесконечность волне.

Таким образом, алгоритм выделения единственного решения уравнения соответствующего расходящимся волнам, можно сформулировать как требование, чтобы функция являлась пределом ограниченного решения уравнения

(6.9) с комплексным коэффициентом при стремлении к нулю поглощения при этом знак должен быть согласован с выбранной временной зависимостью. Такая процедура построения решения носит название «принцип предельного поглощения». Принцип предельного поглощения основан на том физическом факте, что при отсутствии источников на бесконечности при наличии в среде даже малого поглощения могут существовать только уходящие волны.

Принцип предельного поглощения имеет более широкую область применимости, чем условия излучения в форме Зоммерфельда.

В двумерном случае этот принцип формулируется точно так же.

В заключение приведем доказательство теоремы единственности решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца при наличии поглощения во внешней среде.

Теорема 8.8. Внешняя краевая задача

при может иметь только одно решение, экспоненциально стремящееся к нулю на бесконечности.

Доказательство. Достаточно доказать, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение. Обозначим решение этой однородной задачи по-прежнему через Очевидно, справедливо равенство

которое в силу условий на бесконечности, используя формулу Грина и граничные условия, можно переписать в виде

Беря мнимую часть полученного равенства, имеем

В случае первой или второй краевых задач поверхностный интеграл равен нулю, а в случае третьей краевой задачи в силу граничного условия

что вместе с (6.11) дает