Глава III. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

В предыдущих главах рассмотрены некоторые физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка, и приведена классификация уравнений. Уравнения каждого типа (гиперболического, параболического и эллиптического) обладают рядом специфических свойств, и для них разработаны свои методы решения и исследования. Но существуют и общие методы, применимые для уравнений всех типов. Один из таких методов — метод разделения переменных, или метод Фурье, — будет изложен в настоящей главе. Это один из самых старых и распространенных методов аналитического решения уравнений. Метод Фурье будет рассмотрен на примере уравнения более общего, чем те, которые рассмотрены ранее. Это уравнение будем записывать в виде

где

функции переменной в области ограниченной замкнутой поверхностью непрерывные функции переменной Уравнение рассматривается в области

Заметим, что при это уравнение гиперболического типа, при параболического, при эллиптического. В случае область отождествляется с областью

§ 1. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

При решении дифференциальных уравнений можно ставить различные цели. Можно искать общее решение уравнения или искать некоторое частное решение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. В нашем курсе мы

исходим из того, что каждое изучаемое уравнение в рамках определенной математической модели описывает некоторый реальный физический процесс или явление, состояние которого однозначно определено. Поэтому основное внимание будет уделено исследованию полной математической модели явления, т. е. решению дифференциального уравнения со всеми дополнительными условиями, однозначно определяющими это явление. Сразу возникает вопрос: сколько дополнительных условий должно быть и какие это условия? Дополнительные условия всегда вытекают из физической постановки конкретной задачи и определяются ее природой. Однако очевидно, что с математической точки зрения они должны удовлетворять следующим требованиям:

1) дополнительные условия должны выделять единственное решение (т. е. этих условий должно быть не слишком мало);

2) решение, удовлетворяющее всем дополнительным условиям, должно существовать (т. е. условий должно быть не слиш-, ком много, так чтобы задача не оказалась переопределенной). Кроме того, желательно, чтобы дополнительные условия были таковы, что решение мало изменяется при малых изменениях дополнительных условий. В этом случае говорят, что решение устойчиво по отношению к этим условиям (при этом, конечно, нужно определить, как понимается малость изменения дополнительных условий и решения). Этому требованию удается удовлетворить не всегда, так как дополнительные условия вытекают из физической постановки задачи.

Если задано дифференциальное уравнение со всеми дополнительными условиями, будем говорить, что поставлена начально-краевая задача (или краевая задача — для уравнения эллиптического типа). Задача называется корректно поставленной, если:

1) решение существует;

2) решение единственно;

3) решение устойчиво по отношению ко всем дополнительным условиям. В том случае, когда эти требования нарушаются, задача называется некорректно поставленной.

До середины нашего века, главным образом под влиянием высказываний французского математика Ж. С. Адамара, считалось, что некорректно поставленные задачи математической физики не могут служить математическими моделями реальных физических процессов и не заслуживают изучения математиков. Однако последующие исследования и в первую очередь основополагающие работы русского математика академика А. Н. Тихонова показали, что для весьма широкого класса ес-стественнонаучных проблем некорректно поставленные задачи являются адекватными математическими моделями. Это потребовало разработки новых эффективных математических подходов к их изучению, что позволило создать устойчивые алгоритмы решения определенного класса некорректно поставленных

задач. Для частного случая некорректно поставленных задач, сводящихся к интегральным уравнениям первого рода, эти методы изложены, например, в учебнике А. Б. Васильевой и Н. А. Тихонова.

Дополнительные условия, как уже отмечалось, вытекают из физического содержания изучаемого процесса. Как следует из конкретных примеров, рассмотренных в гл. I, если уравнение содержит производные по времени , т. е. процесс развивается во времени, следует фиксировать некоторое начальное состояние процесса. При этом, очевидно, нужно задать в начальный момент времени (для определенности будем считать при значение неизвестной функции и ее производных до порядка:

Условия (1.1) называются начальными условиями.

Физически очевидно, что, в том случае, когда процесс развивается в ограниченной области пространства, для однозначного определения этого процесса следует задать условие на границе области. Конкретный вид этого условия зависит от физической задачи. Как было показано в гл. I на конкретных примерах, наиболее типичными являются условия вида

Условие (1.2) называется краевым, или граничным, условием. При оно называется первым краевым условием, или условием Дирихле, при вторым краевым условием, или условием Неймана, а в общем случае — третьим краевым условием. Таким образом, полная постановка начальнокраевой задачи имеет вид

Естественно, что для эллиптического уравнения описывающего стационарный процесс, начальные условия не нужны.

Прежде чем переходить к исследованию задачи (1.3) — (1.5) и построению ее решения, следует точно определить, что является решением этой задачи.

Определение. Классическим решением задачи (1.3)

(1.5) называется функция определенная и непрерывная вместе со всеми производными, входящими в уравнение (1.3, в области удовлетворяющая уравнению (1.3) в этой области, непрерывная вместе с первыми производными по производными по при и удовлетворяющая граничному (1.4) и начальным (1.5) условиям.

В случае граничного условия Дирихле непрерывности первых производных по в замкнутой области не требуется.

При таком определении классического решения сразу появляются некоторые необходимые условия его существования.

В частности, функции должны быть непрерывны в соответствующих областях. Появляются также условия согласования граничного и начальных условий. При невыполнении этих условий классического решения не существует. В этом случае можно видоизменить понятие решения и ввести понятие решения в некотором обобщенном смысле.

Полная начально-краевая задача (1.3) — (1.5) в силу ее линейности может быть сведена к трем более простым. Эта процедура называется редукцией общей задачи.

Пусть функции являются классическими решениями следующих задач:

Тогда непосредственной проверкой можно убедиться, что функция

является решением общей задачи (1.3) — (1.5).

В дальнейшем будет рассмотрена отдельно каждая из задач (1.6) — (1.8).