§ 5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
Воспроизведем общую схему метода разделения переменных для решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями. Для простоты будем рассматривать одномерную задачу для вынужденных колебаний ограниченной струны с закрепленными концами:
Предположим, что существует классическое решение задачи (5.1) — (5.3). Функция
при каждом фиксированном
разлагается в ряд
где коэффициенты разложения
определяются формулой
Поскольку функция
является классическим решением задачи (5.1) — (5.3), то для интеграла (5.5) выполняются условия дифференцируемости по параметру под знаком интеграла и
Умножим уравнение (5.1) на
и проинтегрируем по х от 0 до
В результате получим
где
Интеграл в формуле (5.7) проинтегрируем два раза по частям с учетом граничных условий (5.3). Тогда, учитывая начальные условия (5.2) и формулу (5.6), для коэффициентов
получаем следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:
где
Решение задачи (5.8) можно записать с помощью импульсной функции
Подставляя коэффициенты (5.9) в ряд (5.4) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим
где
Можно доказать, что для непрерывной в области
функции
удовлетворяющей нулевым начальным и граничным условиям, формула (5.10) действительно определяет классическое решение задачи (5.1) — (5.3).
Определение. Функция
определяемая формулой
называется функцией Грина, или функцией влияния мгновенного точечного импульса на отрезке.
Напомним, что для начально-краевой задачи общего вида функция Грина была введена в гл. III (см. формулу (5.10)).
Рассмотрим теперь, какой физический смысл имеет функция Грина
Пусть положительная функция
отлична от нуля в достаточно малой окрестности точки
причем для любых
где
некоторая постоянная, которую мы определим ниже.
Функция
есть плотность внешней силы, приложенной к струне. Поскольку в нашем случае струна является однородной (коэффициент
постоянен), то линейная плотность струны
также постоянна. Сила, приложенная к участку струны
равна
а импульс
этой силы за время
представляется формулой
Сравнивая формулы (5.12) и (5.13), получаем, что постоянная в формуле (5.12) имеет вид
Решение
задачи (5.1) — (5.3) с правой частью
записывается через функцию Грина по формуле (5.10):
Применяя к последней формуле теорему о среднем, получим
где
Перейдем в формуле (5.15) к пределу при
считая, что величина импульса I сохраняется. В результате, учитывая формулу (5.13), получим
Функция
описывает процесс колебания ограниченной струны с закрепленными концами, возбужденной мгновенным точечным импульсом мощности
приложенным в хмомент времени
в точке
Таким образом, из формулы (5.16) вытекает, что функция Грина
с физической точки зрения означает отклонение точки струны с координатой х в момент времени
при возбуждении струны в начальный момент времени
мгновенным точечным импульсом мощности
в точке