§ 5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ

Воспроизведем общую схему метода разделения переменных для решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями. Для простоты будем рассматривать одномерную задачу для вынужденных колебаний ограниченной струны с закрепленными концами:

Предположим, что существует классическое решение задачи (5.1) — (5.3). Функция при каждом фиксированном разлагается в ряд

где коэффициенты разложения определяются формулой

Поскольку функция является классическим решением задачи (5.1) — (5.3), то для интеграла (5.5) выполняются условия дифференцируемости по параметру под знаком интеграла и

Умножим уравнение (5.1) на и проинтегрируем по х от 0 до В результате получим

где

Интеграл в формуле (5.7) проинтегрируем два раза по частям с учетом граничных условий (5.3). Тогда, учитывая начальные условия (5.2) и формулу (5.6), для коэффициентов получаем следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:

где

Решение задачи (5.8) можно записать с помощью импульсной функции

Подставляя коэффициенты (5.9) в ряд (5.4) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

где

Можно доказать, что для непрерывной в области функции удовлетворяющей нулевым начальным и граничным условиям, формула (5.10) действительно определяет классическое решение задачи (5.1) — (5.3).

Определение. Функция определяемая формулой

называется функцией Грина, или функцией влияния мгновенного точечного импульса на отрезке.

Напомним, что для начально-краевой задачи общего вида функция Грина была введена в гл. III (см. формулу (5.10)).

Рассмотрим теперь, какой физический смысл имеет функция Грина

Пусть положительная функция отлична от нуля в достаточно малой окрестности точки

причем для любых

где некоторая постоянная, которую мы определим ниже.

Функция есть плотность внешней силы, приложенной к струне. Поскольку в нашем случае струна является однородной (коэффициент постоянен), то линейная плотность струны также постоянна. Сила, приложенная к участку струны равна

а импульс этой силы за время представляется формулой

Сравнивая формулы (5.12) и (5.13), получаем, что постоянная в формуле (5.12) имеет вид

Решение задачи (5.1) — (5.3) с правой частью записывается через функцию Грина по формуле (5.10):

Применяя к последней формуле теорему о среднем, получим

где

Перейдем в формуле (5.15) к пределу при считая, что величина импульса I сохраняется. В результате, учитывая формулу (5.13), получим

Функция описывает процесс колебания ограниченной струны с закрепленными концами, возбужденной мгновенным точечным импульсом мощности приложенным в хмомент времени в точке Таким образом, из формулы (5.16) вытекает, что функция Грина с физической точки зрения означает отклонение точки струны с координатой х в момент времени при возбуждении струны в начальный момент времени мгновенным точечным импульсом мощности в точке