Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Как было указано в предыдущей главе, многие физические задачи приводят к уравнениям в частных производных второго порядка относительно искомой функции. Общий вид таких уравнений следующий:

где независимые переменные, искомая функция, заданная функция.

Уравнение, линейное относительно старших производных, имеет вид

где коэффициенты являются функциями только независимых переменных Если они зависят также от и и ее первых производных, то уравнение называется квазилинейным. Уравнение называется линейным, если оно линейно не только относительно старших производных, но и относительно и и ее первых производных. Такое уравнение имеет вид

В этой главе будет дана классификация уравнений в частных производных второго порядка.

§ 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Рассмотрим уравнение второго порядка, линейное относительно старших производных, для неизвестной функции и двух независимых переменных х и у:

где действительные функции зависят от х и у и определены в области Будем считать, что все коэффициенты одновременно в нуль не обращаются.

Введем новые независимые переменные

где функции дважды непрерывно дифференцируемы:

Будем считать, что это преобразование осуществляет взаимно однозначное отображение области на область Для этого потребуем, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля:

Попытаемся преобразование (1.2) выбрать таким образом, чтобы в новых переменных уравнение (1.1) имело наиболее простую форму. Преобразуем уравнение (1.1) к новым переменным, полагая

В новых переменных уравнение (1.1) принимает вид

где

функция, не зависящая от старших производных. При этом непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости тождества

Теперь можно ввести следующую классификацию уравнений, линейных относительно старших производных.

Определение. Если в точке то уравнение (1.1) называется уравнением гиперболического типа в если в точке то уравнение (1.1)

называется уравнением эллиптического типа в если в точке то уравнение (1.1) называется уравнением параболического типа в

Заметим, что согласно (1.8) при любой невырожденной замене переменных тип уравнения не изменяется. Если тип уравнения сохраняется во всех точках области то уравнение называется уравнением данного типа во всей области Если в разных точках области уравнение принадлежит разным типам, то оно называется уравнением смешанного типа в области

Отметим еще одно обстоятельство, которое потребуется в дальнейшем. Рассмотрим квадратичную форму, составленную из старших коэффициентов уравнения (1.1), взятых в точке :

Классификация уравнения (1.1) совпадает с классификацией квадратичной формы (1.9) К