§ 3. ПОЛНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

Прежде чем переходить к изложению общей схемы метода разделения переменных, напомним некоторые понятия математического анализа.

Пусть в области задана бесконечная счетная система функций интегрируемая с квадратом в

Определение. Система функций называется замкнутой в если не существует функции отличной от тождественного нуля, ортогональной ко всем функциям данной системы, т. е. если при всех то

Определение. Система функций называется полной в если для любой функции и любого существуют число и коэффициенты такие, что

Другими словами, это означает, что произвольная функция может быть с любой наперед заданной точностью аппроксимирована в среднем конечной линейной комбинацией функций данной системы.

В дальнейшем будем считать, что система ортонормирована:

Для ортонормированных систем необходимым и достаточным условием полноты является равенство Парсеваля-Ляпунова- Стеклова:

для любой функции

где коэффициенты Фурье функции

Замкнутость системы есть следствие ее полноты. Действительно, пусть функция ортогональна всем функциям системы

Если система полна, то в силу (3.1)

Отсюда следует, что т. е. система замкнута.

Можно показать, что полнота системы в есть следствие ее замкнутости.

Таким образом, понятия полноты и замкнутости в пространстве эквивалентны.

Заметим, что для любой функции ряд Фурье по полной ортонормированной системе сходится к этой функции в норме

Примером полной и замкнутой системы может служить тригонометрическая система

на отрезке или система собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка вида