Глава VIII. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
В этой главе мы продолжим изучение уравнений эллиптического типа. Будут изучены вопросы, связанные с уравнением 
Начнем с исследования задачи Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа, а затем рассмотрим, внешние и внутренние задачи для уравнения 
которое называется уравнением Гельмгольца.
§ 1. ЗАДАЧА ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
В предыдущих главах было показано, что основная идея метода разделения переменных состоит в представлении решения краевой задачи в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, образующим полную систему функций в соответствующей пространственной области. Зная собственные значения и собственные функции соответствующего оператора, можно построить решения начально-краевых задач как для уравнения теплопроводности, так и для уравнения колебаний в ограниченной области.
Перейдем к изучению задачи Штурма-Лиувилля. Мы не будем рассматривать эту задачу для общего самосопряженного эллиптического оператора 
а подробно исследуем задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа.
1. Приведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Фредгольма
Рассмотрим простейшую задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа с граничным условием Дирихле. Прежде всего напомним постановку задачи и определение собственных значений и собственных функций.
Определение. Значения параметра X, при которых существует нетривиальное решение однородного уравнения
удовлетворяющее однородному граничному условию
называются собственными значениями оператора Лапласа для задачи Дирихле, а соответствующие им ненулевые решения — собственными функциями.
Будем предполагать, что 
поверхность Ляпунова, а функция 
положительная непрерывно дифференцируемая функция в 
Сведем задачу (1.1), (1.2) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Обозначим через 
функцию Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа. Как было показано ранее, для замкнутой поверхности Ляпунова она всегда существует. Пусть 
есть решение задачи (1.1), (1.2). Подставляя и в (1.1), (1.2), получим тождества
Рассматривая (1.3) как краевую задачу для уравнения Пуассона, выпишем ее решение через функцию Грина
Соотношение (1.4) есть однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции и. По построению (1.4) любое решение задачи (1.1), (1.2) является решением уравнения (1.4).
Покажем, что справедливо и обратное утверждение: любое решение уравнения (1.4) есть решение задачи (1.1), (1.2). Действительно, пусть 
-решение уравнения (1.4). Учитывая свойства объемного потенциала (см. § 6 гл. V), естественно считать, что функция 
непрерывно дифференцируема в 
Тогда, опять используя свойства объемного потенциала, получим, что 
есть решение уравнения
и, учитывая свойства функции Грина,
Следовательно, 
есть решение задачи (1.1), (1.2). Таким образом, задача Штурма-Лиувилля (1.1), (1.2) эквивалентна интегральному уравнению (1.4).
Чтобы в дальнейшем воспользоваться результатами теории интегральных уравнений Фредгольма с симметричным ядром, приведем уравнение (1.4) к уравнению с симметричным ядром Для этого домножим (1.4) на 
и запишем его в виде
Введем обозначения:
Тогда интегральное уравнение принимает вид
Получено интегральное уравнение с симметричным слабополярным ядром, для которого справедлива теория Фредгольма.
