§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями. Формальная схема решения этой задачи методом Фурье была разобрана в гл. III. Для доказательства теоремы существования решения надо установить, что полученное формальное представление решения в виде ряда Фурье с коэффициентами, определяемыми через начальные данные, при соответствующих условиях, накладываемых на начальные данные, действительно является классическим решением рассматриваемой задачи.

Доказательство проведем для простейшего одномерного случая. Рассмотрим начально-краевую задачу, описывающую свободные колебания ограниченной струны с закрепленными концами (см. гл. I):

Будем искать классическое решение задачи (4.1) — (4.3), для существования которого необходимо выполнение условия согласования начального и граничных условий:

Формальное решение задачи (4.3), построенное по методу Фурье, имеет вид

где

Теорема 7.3. Пусть начальные функции задачи (4.1) — (4.3) удовлетворяют условиям: функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке и имеет на нем кусочно-непрерывную третью производную, функция непрерывно дифференцируема на отрезке и имеет на нем кусочно-непрерывную вторую производную,

Тогда существует классическое решение задачи (4.1)-(4.3), представленное формулой (4.4) с коэффициентами (4.5) и (4.6).

Доказательство. Нужно доказать:

а) непрерывность функции представимой рядом и ее первой производной в замкнутой области и непрерывное примыкание их к заданным начальным (4.2) и граничным (4.3) условиям;

б) существование вторых частных производных функции и справедливость уравнения (4.1) в открытой области

Для доказательства сформулированных положений воспользуемся обобщенным принципом суперпозиции и известными свойствами равномерно сходящихся рядов по тригонометрическим функциям, приведенным в гл. VI при доказательстве существования решения одномерного уравнения теплопроводности.

Докажем положения, сформулированные в Для этого дестаточно доказать равномерную сходимость в замкнутой области ряда (4.4) и ряда, полученного формальным дифференцированием (4.4) по

Мажорантным для ряда (4.4) будет ряд

а для ряда - ряд

которые сходятся при условиях, наложенных на функции с учетом (4.5) и (4.6), в силу свойств рядов Фурье (см. гл. VI, § 4). Следовательно, ряды (4.4) и (4.8) в замкнутой области сходятся равномерно и определяют в этой области непрерывные функции Так как при ряды (4.4) и (4.8) с учетом (4.5) и (4.6) переходят в тригонометрические ряды Фурье на отрезке для функций удовлетворяющих условию разложимости в ряд Фурье, то при функция удовлетворяет начальным условиям (4.2).

Поскольку все собственные функции удовлетворяют однородным граничным условиям (4.3), то при функция удовлетворяет этим условиям.

Для доказательству положений п. б) докажем равномерную сходимость в области рядов, полученных путем формального почленного дифференцирования ряда (4.4) дважды по

и дважды по х:

Рядам (4.11), (4.12) с точностью до множителя соответствует общий мажорантный ряд

который сходится в силу условий, наложенных на функции с учетом формул (4.5) и (4.6), и свойств рядов Фурье (см. гл. VI). Значит, ряды (4.11) и (4.12) в открытой области сходятся равномерно, и поскольку каждый член ряда (4.4) удовлетворяет уравнению (4.1), то в силу обобщенного принципа суперпозиции (см. гл. VI, § 4) функция удовлетворяет уравнению (4.1) в открытой области

Отметим, что условия (4.7) обеспечивают непрерывность и периодичность нечетных продолжений начальных функций и второй производной продолжения функции Непрерывность первой производной при нечетном продолжении получается автоматически.

Замечание. Отметим, что при доказательстве теоремы 7.3 на функции наложены достаточно жесткие условия, в частности, выходящие за рамки условий согласования. Эти условия связаны лишь с методом доказательства и могут быть значительно ослаблены.