3. Потенциалы уравнения Гельмгольца

Из соотношения (2.8) видно, что произвольная достаточно гладкая функция и может быть представлена в виде трех слагаемых, называемых потенциалами: объемного потенциала, потенциала простого слоя и потенциала двойного слоя. Потенциалами Гельмгольца называются следующие потенциалы:

Поскольку ядра этих потенциалов имеют ту же особенность при совпадении точек что и потенциалы для уравнения Лапласа, то они обладают теми же свойствами, за исключением того, что они удовлетворяют другим уравнениям.

Перечислим эти свойства.

Объемный потенциал с непрерывно дифференцируемой плотностью является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей уравнению

При потенциалы простого слоя и двойного слоя удовлетворяют однородному уравнению

Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью заданной на поверхности Ляпунова, является непрерывной функцией во всем пространстве, а его нормальная производная имеет разрыв при переходе через поверхность величина которого определяется формулами

Здесь использованы те же обозначения, что и в § 6 гл.

Потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью заданной на поверхности Ляпунова, претерпевает разрыв при переходе через поверхность величина которого определяется соотношениями

Аналогичным образом вводятся потенциалы при и для плоского случая.