2. Основные свойства гармонических функций

Используем формулы Грина для вывода основных свойств гармонических функций.

1. Если и — гармоническая в области функция, то

где любая гладкая замкнутая поверхность, целиком лежащая в области

Действительно, полагая и применяя первую формулу Грина к функции и и в области, ограниченной поверхностью сразу получим (1.12). Формула (1.12) иногда называется формулой Гаусса для гармонических функций. Ее можно интерпретировать как отсутствие источников внутри

Если

что можно интерпретировать как выражение для потока через границу области при наличии источников внутри области.

2. Теорема о среднем. Теорема 5.1. Пусть гармоническая в области функция. Тогда

где — сфера радиуса а с центром в точке целиком лежащая в области

Доказательство. Применим формулу (1.8) к шару с центром в точке и поверхностью

Поскольку

то, принимая во внимание формулу (1.12), получим

Эта теорема утверждает, что значение гармонической функции в точке равно среднему значению этой функции на любой сфере с центром в если сфера не выходит из области гармоничности функции .

Заметим, что для гармонической функции, непрерывной в замкнутой области формула среднего значения справедлива и тогда, когда сфера касается границы области

Действительно, пусть сфера радиуса касается поверхности Формула среднего значения справедлива для любой сферы меньшего радиуса

Переходя в этой формуле к пределу при и учитывая непрерывность и в замкнутой области получим

Для случая двух переменных имеет место аналогичная теорема о среднем значении:

где окружность радиуса а с центром в лежащая в области гармоничности функции

3. Гармоническая в области функция имеет внутри производные всех порядков.

Это утверждение непосредственно следует из третьей формулы Грина (1.8), так как при поверхностные интегралы являются собственными и их можно дифференцировать по координатам точки любое число раз.

Заметим, что из этой же формулы (1.8) следует, что гармоническая функция во всех внутренних точках области аналитична, т. е. разлагается в сходящийся степенной ряд в окрестности любой внутренней точки При этом радиус сходимости соответствующего ряда не меньше, чем расстояние точки до границы области

4. Принцип максимума. Теорема 5.2. Гармоническая в области функция непрерывная в замкнутой области достигает своих максимальных и минимальных значений на границе области

Доказательство. Так как функция непрерывна в замкнутой области то она достигает своего максимального значения в этой замкнутой области. Докажем, что это максимальное значение достигается функцией на поверхности Предположим противное. Пусть функция достигает своего максимального значения в некоторой внутренней точке области

любая точка области Окружим точку сферой радиуса целиком лежащей в области и применим теорему о среднем:

Написанная цепочка соотношений верна только в случае, если

Действительно, так как крайние элементы цепочки равны, то

Если теперь предположить, что хотя бы в одной точке сферы

то это неравенство, в силу непрерывности будет иметь

место и в некоторой окрестности точки на сфере откуда

что приводит к противоречию. Следовательно, всюду на сфере

Поскольку произвольно, то его можно выбрать так, чтобы сфера 2° касалась поверхности Точку касания обозначим В точке и достигается максимальное значение

Применяя проведенные рассуждения к гармонической функции докажем достижение на поверхности минимального значения.

Замечание. Формулировку принципа максимума можно усилить. Покажем, что если непрерывная в замкнутой области гармоническая функция достигает своего максимального значения в некоторой внутренней точке области то она равна постоянной. Из проведенных рассуждений следует, что функция равна не только на сфере , но и, в силу произвольности всюду внутри шара ограниченного этой сферой.

Возьмем произвольную точку области Соединим точки и кривой С, целиком лежащей в области Обозначим наименьшее расстояние точек С от поверхности через а длину кривой С — через Пусть точка является последней точкой пересечения кривой С и сферы . Поскольку то, повторяя проведенные рассуждения, получим, что всюду внутри шара радиуса с центром в функция и постоянна и равна Взяв на кривой С точку являющуюся последней точкой пересечения кривой С и сферы и продолжая данный процесс, в результате конечного числа шагов, которое не более получим, что внутри шара, которому принадлежит точка функция и постоянна и равна В силу произвольности точки и непрерывности функции и в замкнутой области заключаем, что всюду в замкнутой области Таким образом, из всех гармонических функций, непрерывных в только постоянная может достигать своего максимального значения во внутренних точках области.

Аналогичное утверждение можно доказать и относительно минимального значения.

Таким образом, формулировку принципа максимума можно усилить и сформулировать его так: гармоническая в области функция, отличная от постоянной, непрерывная в замкнутой области достигает своих максимальных и минимальных значений только на границе области

Доказанное свойство гармонических функций чрезвычайно важно, и мы неоднократно будем его использовать.

Укажем одно следствие из принципа максимума: если две гармонические в функции непрерывны в замкнутой области и

то всюду внутри области и Доказательство этого утверждения, носящего название принципа сравнения, очевидно.