§ 6. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

В этом параграфе получим представление решения начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области через функцию Грина.

Напомним, что функция Грина может быть определена как регулярная обобщенная функция, являющаяся решением следующей начально-краевой задачи (см. § 5 гл. III):

где Функция Грина представима в виде ряда

где и -собственные значения и ортонормированные собственные функции оператора

Рассмотрим следующую задачу для уравнения колебаний в ограниченной области:

Будем считать, что задача (6.5) — (6.7) имеет решение. Чтобы выразить это решение через функцию Грина используем формальный метод, примененный для уравнения теплопроводности в § 12 гл. VI.

Умножим уравнение (6.5) на а уравнение (6.1) на Вычитая одно соотношение из другого и интегрируя по и получим

Учитывая (6.3), преобразуем интеграл, интегрируя по частям:

Интеграл в правой части (6.8) преобразуем, используя вторую формулу Грина:

Подставляя (6.9) и (6.10) в (6.8) и учитывая, что

получим

Из формулы (6.11) легко получаются представления решения задачи (6.5) — (6.7). Выпишем решения для граничных условий первого, второго и третьего рода отдельно.

Для граничных условий Дирихле

Поэтому решение имеет вид

Для граничных условий Неймана

Решение задачи (6.5)-(6.7) имеет вид

В случае граничных условий третьего рода :

и решение задачи представимо в виде