разрезом по отрицательной части вещественной оси, то в силу общих свойств аналитического продолжения формула (2.57) остается справедливой при 
в области 
При вещественном аргументе х формулу (2.57) обычно записывают следующим образом:
Учитывая, что при вещественных аргументах функции Ханкеля первого и второго рода комплексно сопряжены, из формулы (2.58) получим следующие асимптотические формулы:
Из формул (2.59) следует, что при больших действительных значениях аргумента функции Бесселя и Неймана представляют собой осциллирующие функции х, причем их амплитуды убывают с ростом х как 
а расстояние между нулями стремится к 
Причем все эти нули, кроме 
простые. В самом деле, предположим, что в точке 
функция Бесселя или Неймана имеет нуль порядка выше первого. Тогда в точке 
эта функция и ее первая производная обращаются в нуль. Поскольку цилиндрическая функция удовлетворяет уравнению Бесселя, являющемуся однородным дифференциальным уравнением второго порядка, то в силу единственности решения задачи Коши для уравнения Бесселя при 
получим, что при 
данная функция тождественно равна нулю. Полученное противоречие доказывает утверждение.
-это интеграл по комплексной переменной 
, зависящий от параметра х, для оценки которого при 
можно использовать метод перевала. Напомним его основные положения. Если 
являются аналитическими функциями аргумента 
в области 
содержащей контур интегрирования С, то при больших значениях аргумента х имеет место асимптотическая формула
точка перевала функции 
определяемая условием 
а угол 
указывает направление наискорейшего спуска и определяется следующим образом: 
Применяя формулу (2.56) к интегралу (2.55), получим
является аналитической функцией комплексной переменной 
на комплексной плоскости с
