8. Связь функций Ханкеля и Бесселя. Функция Неймана

Из интегральных представлений (2.27), (2.31) и (2.32) для функций Бесселя и Ханкеля первого и второго рода следует формула, выражающая функцию Бесселя через функции Ханкеля:

В силу общих свойств аналитического продолжения это соотношение может быть продолжено на всю комплексную плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. На основании формул (2.33), (2.34) и (2.40) получаем

Пусть сначала где целое число. Тогда из формул (2.40) и (2.41) следует, что

и

Пусть теперь Тогда, применяя правило Лопиталя раскрытия неопределенностей, получим

Аналогично

Следовательно, при действительном аргументе х функции Ханкеля первого и второго рода являются комплексно-сопряженными.

Из формулы (2.40) вытекает, что при вещественном аргументе функция Бесселя является вещественной частью функции Ханкеля.

Определение. Функция

называется функцией Неймана.

При вещественном аргументе и вещественном индексе функция Неймана является мнимой частью функции Ханкеля первого рода. Функции Ханкеля первого и второго рода выражаются через функции Бесселя и Неймана следующим образом:

Формулы (2.44) справедливы и при комплексном аргументе на всей комплексной плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси.