§ 5. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ И ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Рассмотрим метод разделения переменных решения краевых задач для уравнения Лапласа. Метод применим в том случае, когда граница области такова, что возможно разделение переменных. На плоскости это осуществимо, в частности, для круга и прямоугольника. Эти случаи и будут рассмотрены в настоящем параграфе.
1. Краевые задачи для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольце
Методом разделения переменных построим общее решение уравнения Лапласа в круге. Введем полярную систему координат 
с началом в центре круга. Запишем уравнение Лапласа в полярной системе координат:
Найдем решения уравнения (5.1), представимые в виде
Подставляя (5.2) в (5.1) и разделяя переменные, получим
Поскольку уравнение (5.1) должно выполняться всюду в круге 
то функция и 
периодична по 
с периодом 
и ограничена в этом круге.
Из (5.3) получаем уравнение для 
Рассмотрим сначала уравнение для 
Решение этого уравнения должно быть периодично с периодом 
Следовательно, для определения 
получена задача Штурма-Лиувилля с условиями периодичности. Решение этой задачи имеет вид (см. § 8 гл. III)
Из (5.3) с учетом найденных значений 
получаем уравнение для 
Это уравнение Эйлера, и общее решение его может быть записано в виде
Ограниченными при 
решениями являются
Следовательно, получаем следующую систему решений уравнения Лапласа, ограниченных в круге 
Общее решение уравнения Лапласа в круге записывается в виде разложения по этим частным решениям:
Для построения общего решения уравнения Лапласа вне круга
следует выбрать частные решения (5.2), ограниченные вне круга. Они имеют вид
Следовательно, общее решение уравнения Лапласа вне круга, ограниченное на бесконечности, можно записать в виде
Перейдем теперь к решению краевых задач. Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для круга:
Решение задачи (5.12) — (5.13) можно записать в виде разложения (5.9), коэффициенты которого определяются из граничного условия. Но вычисления оказываются проще, если решение записать в виде
Подставляя (5.14) в граничное условие (5.13), находим выражения для коэффициентов:
Выпишем отдельно решения первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге.
1. Задача Дирихле: 
2. Задача Неймана: 
где С — произвольная постоянная. Напомним, что решение внутренней задачи Неймана существует только при условии
и определяется с точностью до произвольной постоянной.
3. Третья краевая задача:
Коэффициенты в (5.16) — (5.18) определяются формулами (5.15).
Решение внешних краевых задач проводится аналогично. Для построения их решений следует использовать частные решения (5.10).
Подробнее рассмотрим краевую задачу внутри кольца 
Для определенности выберем задачу Дирихле
При построении решения внутри кольца нужно использовать весь набор радиальных функций (5.7). Но удобно при каждом 
построить специальную систему фундаментальных решений 
уравнения (5.6), удовлетворяющую следующим граничным условиям:
В качестве таких решений можно взять функции
Тогда решение задачи (5.19) запишем в виде
Подставляя (5.21) в граничное условие при 
и учитывая (5.20), находим коэффициенты 
Аналогичным образом коэффициенты 
определяются из граничного условия при 
При решении других краевых задач внутри кольца следует построить нужные радиальные функции, удовлетворяющие соответствующим однородным граничным условиям при 
