Глава I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

При исследовании реальных физических процессов и явлений методами математического моделирования одним из важных этапов является формулировка математической модели, т. е. четкая постановка математической задачи, достаточно адекватной исследуемому кругу физических явлений

Весьма широкий класс математических моделей, описывающих физические явления, представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных.

В этой главе рассматриваются наиболее типичные физические задачи, математическими моделями которых служат начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

§ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ВОЛНОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ

1. Малые продольные колебания упругого стержня

Рассмотрим упругий стержень длины расположенный в состоянии равновесия вдоль оси х от точки до точки

Будем рассматривать малые продольные колебания стержня, при которых напряжения, возникающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука. Тогда стержень можно рассматривать как абсолютно упругий.

Поскольку рассматриваются продольные колебания упругого стержня, то все точки одного сечения испытывают одно и то же смещение. Обозначим через продольное смещение в момент времени сечения стержня, характеризующегося абсциссой х в состоянии равновесия. Выбранная нами геометрическая переменная х называется переменной Лагранжа. В переменных Лагранжа каждая физическая точка стержня в течение всего рассматриваемого процесса характеризуется одной и той же геометрической координатой х. Физическая точка, занимавшая в начальный момент в состоянии равновесия

положение х, в любой последующий момент времени будет находиться в точке с координатой

Обозначим через линейную плотность стержня, коэффициент упругости материала стержня, плотность импульса продольной внешней силы, приложенной к стержню.

Поскольку рассматриваются малые колебания, то согласно закону Гука сила, вызывающая упругую деформацию бесконечно малого элемента стержня, равна

где — относительное удлинение элемента:

Поскольку в формуле (1.1)

и сила упругого натяжения в сечении х равна

Для вывода дифференциального уравнения, описывающего малые продольные колебания стержне воспользуемся вариационным принципом.

Вариационный принцип. Если материальная система, находящаяся в поле внешних сил, характеризуется для любого момента времени кинетической энергией и потенциальной энергией то переход ее из состояния в момент времени в новое состояние в момент времени происходит так, что функционал

имеет экстремальное значение.

Так как рассматривается случай малых колебаний, при подсчете кинетической и потенциальной энергии членами высшего порядка малости можно пренебречь.

Кинетическая энергия малого участка стержня равна (считаем, что в пределах участка все параметры сохраняют постоянное значение)

Следовательно, кинетическая энергия всего стержня равна

Потенциальная энергия системы «стержень в поле внешних сил» складывается из потенциальной энергии упругой деформации и из работы А внешней силы:

Работа внешней силы, затраченная на перемещение малого элемента из состояния равновесия в состояние равна

Полная работа А внешней силы записывается следующим образом:

Подсчитаем энергию упругой деформации. Выделим малый участок стержня длиной считая, что в пределах данного участка коэффициент упругости является постоянным На участок со стороны соседнего элемента действует сила упругого напряжения равная где относительное удлинение элемента При перемещении элемента на расстояние будет совершена работа

С перемещением на расстояние связано изменение относительного удлинения на величину Де, причем

Следовательно, и

Проинтегрировав последнее равенство от 0 до получаем выражение для энергии упругой деформации, которой обладает выделенный элемент:

Рассмотрим теперь неоднородный стержень с коэффициен том упругости и применим формулу (1.3) для бесконечно малого элемента учитывая, что

Проинтегрировав последнее равенство по х от 0 до I, получим

Составим функционал (1.2): и

Выпишем для функционала (1.5) уравнение Эйлера-Остроградского, являющееся необходимым условием экстремума функционала

где

Вычисляя производные, входящие в формулу (1.6), получим уравнение Эйлера-Остроградского для функционала (1.5), описывающее малые продольные колебания упругого стержня:

Выражение в левой части уравнения (1.7) описывает силы инерции, первое слагаемое в правой части — упругое взаимодействие и второй член в правой части — действие внешней силы.

Если стержень однородный и его линейная плотность и коэффициент упругости постоянны: то уравнение (1.7) обычно записывается в следующем виде:

где

Уравнения (1.7) и (1.8) представляют собой простейшие примеры уравнений колебаний.

При математическом описании физического явления необходимо прежде всего грамотно поставить задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса.

Дифференциальные уравнения с обыкновенными и тем более частными производными имеют бесконечное множество решений. Для однозначной характеристики процесса кроме

уравнения нужно задать еще некоторые дополнительные условия. Задавая дополнительные условия, нужно помнить, что эти условия должны обеспечивать единственность и существование решения, т. е. задача не должна быть недоопределенной или переопределенной.

Как известно в случае обыкновенных дифференциальных уравнений эти условия определяются постановкой конкретной физической задачи и могут иметь различную форму, в зависимости от которой приходят к задаче Коши или к краевой задаче. В случае дифференциальных уравнений в частных производных в качестве дополнительных тоже используются начальные и граничные условия.

Начальные условия. Начальные условия определяют состояние системы в некоторый выделенный момент времени, который считается «начальным». Например, в качестве начального момента времени можно взять В случае уравнения (1.7), описывающего малые продольные колебания стержня, нужно в начальный момент задать положение каждой точки стержня и ее скорость:

где и -некоторые заданные функции. Если функция отлична от нуля, это означает, что в начальный момент времени стержень не находился в положении равновесия. Если функция отлична от нуля, это означает, что в начальный момент каждой точке стержня была сообщена мгновенная начальная скорость, например двигавшийся стержень мгновенно остановился.

Граничные условия. Мы будем рассматривать линейные граничные условия. Будем считать, что стержень имеет длину и занимает вдоль оси х отрезок от 0 до Для определенности будем рассматривать левый конец стержня . С физической точки зрения ясно, что левый конец стержня может находиться в различных условиях. Например, он может быть жестко закреплен (стержень заделан в стену) или же двигаться по определенному закону (стержень жестко прикреплен к плите, совершающей заданное движение). Математически это условие записывается следующим образом:

где некоторая постоянная, -заданная функция Условие (1.9) называется граничным условием первого рода, или условием Дирихле. В частности, если функция тождественно равна нулю, что соответствует жестко закрепленному левому концу стержня, то граничное условие (1.9) называется однородным граничным условием первого рода, или

однородным условием Дирихле. Если же функция отличается от нуля, то условие (1.9) называется неоднородным граничным условием первого рода, или неоднородным условием Дирихле.

Если задан закон изменения силы приложенной к левому концу стержня и действующей в продольном направлении, то, используя закон Гука, граничный режим на этом конце можно записать следующим образом (напомним, что коэффициент упругости стержня):

или

где заданная функция. к (0)

Условие (1.10) называется граничным условием второго рода, или условием Неймана. Если то условие (1.10) называется однородным граничным условием второго рода, или однородным условием Неймана. Физически это условие означает, что левый конец стержня свободен: к нему не приложена внешняя сила, и он не закреплен.

Пусть, наконец, левый конец стержня закреплен упруго, например с помощью пружины, коэффициент жесткости которой равен а. Сила упругости, стремящаяся вернуть левый конец стержня в положение равновесия, согласно закону Гука пропорциональна смещению Граничный режим можно записать следующим образом:

или

где Условие (1.11) называется однородным граничным условием третьего рода.

Возможно задание при линейной комбинации упругого закрепления и смещения. Например, стержень с помощью пружины может быть прикреплен к плите, которая перемещается по некоторому закону, определяемому функцией параллельно стержню. В этом случае получается граничное условие следующего вида:

или

где - заданная функция. Условие (1.12) называется неоднородным граничным условием третьего рода.

Разумеется, физическая постановка задачи может приводить и к более сложным граничным условиям, в частности

нелинейным. Такие условия возникают, например, при упругом закреплении, не подчиняющемся закону Гука. Если натяжение на левом конце стержня является нелинейной функцией смещения и то граничное условие примет вид

где определяет упругую силу, приложенную к левому концу стержня и действующую в продольном направлении.

В граничное условие могут входить производные функции по Например, если к концу пружины прикреплена пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси пружины, и конец пружины испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости его движения, то граничное условие записывается в виде

где а — коэффициент сопротивления среды.

Аналогичные граничные условия становятся на правом конце стержня. При этом возможны комбинации различных граничных условий на правом и левом концах стержня.

Граничные условия могут включать и производные порядков выше первого. Пусть, например, упругий стержень длины

I расположен вертикально и его верхний конец закреплен неподвижно (заделан в потолок). К нижнему концу стержня прикреплен массивный абсолютно жесткий (т. е. недеформируемый) груз Груз находится на площадке и не растягивает и не сжимает стержень. В начальный момент времени площадку убирают. Предположим, что масса стержня много меньше массы груза и действием силы тяжести на стержень можно пренебречь. Направим ось вдоль стержня, так что его верхний конец будет иметь абсциссу Тогда на верхнем конце стержня граничным условием будет однородное условие Дирихле

а граничное условие на нижнем конце стержня имеет вид

где площадь поперечного сечения стержня.

В дальнейшем мы будем говорить о трех основных типах граничных условий первого, второго и третьего рода. Рассмотрим, например, нагруженный стержень с приложенной к нему внешней силой, всем точкам которого в начальный момент времени задаются некоторые смещение и некоторая скорость. Пусть левый конец стержня упруго прикреплен к движущейся точке закрепления, а правый конец движется по заданному

закону. Сформулируем математическую задачу, описывающую процесс движения такого стержня:

где заданные функции, постоянные коэффициенты.

Задача (1.13) называется начально-краевой задачей.