3. Интегральное уравнение для внешней задачи Неймана
Рассмотрим теперь внешнюю задачу Неймана 
Решение этой задачи будем искать в виде потенциала простого слоя:
При любой непрерывной плотности 
функция (7.14) гармоническая в и удовлетворяет условию регулярности на бесконечности. Плотность 
определим так, чтобы выполнялось граничное условие
Воспользовавшись формулой (6.22), из (7.15) получим 
или
Найдя решение уравнения (7.16) и подставив его в (7.14), получим классическое решение задачи (7.13). Таким образом, вопрос о разрешимости краевой задачи (7.13) опять сведен к вопросу о разрешимости интегрального уравнения. Интегральное уравнение (7.16) согласно первой теореме Фредгольма имеет и притом единственное решение при любой непрерывной функции 
поскольку соответствующее однородное уравнение (уравнение (7.10)), как было доказано, имеет только тривиальное решение.
Таким образом, внешняя задача Неймана разрешима при любой непрерывности функции 
Следовательно, имеет место теорема.
Теорема 5.13. Внешняя задача Неймана (7.13) имеет классическое решение при любой непрерывной функции 
