2. Краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике
Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике также могут быть решены методом разделения переменных. Для определенности рассмотрим задачу Дирихле
Задачу (5.22) — (5.24) разобьем на две задачи, каждая из которых имеет однородные граничные условия по одной из переменных. Пусть
где 
есть решения следующих задач в прямоугольнике:
Каждую из этих задач будем называть стандартной. Рассмотрим стандартную задачу для функции 
Построим сначала решения уравнения Лапласа, представимые в виде
и удовлетворяющие однородным граничным условиям по х:
Подставляя (5.25) в уравнение Лапласа и разделяя переменные, получим уравнения для функций 
Учитывая (5.26), получаем для 
задачу Штурма-Лиувилля
решение которой имеет вид (см. гл. III, § 8)
При 
общее решение уравнения (5.28) запишем в виде
Заметим, что такой выбор фундаментальных решений уравнения (5.28) аналогичен построению функций 
в предыдущем пункте.
Таким образом, построены частные решения уравнения Лапласа 
Решение стандартной задачи для функции их запишем в виде разложения по системе (5.29):
коэффициенты которого определяются из граничных условий
Таким образом, решение стандартной задачи для 
дается формулами (5.30), (5.31).
Аналогичным образом решается стандартная задача для функции 
Решение ее имеет вид
где 
Итак, решение задачи (5.22) — (5.24) имеет вид
где функции их и 
определяются формулами (5.30) и (5.32) соответственно.
Таким же образом может быть решена краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике с другими граничными условиями. Осторожность нужно проявлять при решении задачи Неймана, поскольку при редукции ее к стандартным задачам может появиться задача, которая не имеет решения. В этом случае исходную задачу заменой неизвестной функции можно свести к задаче для неоднородного уравнения с однородными граничными условиями. Схема решения такой задачи изложена в гл. III, § 7.
Замечание. Решения краевых задач для уравнения Лапласа в случае круга, кольца и прямоугольника выписаны в виде рядов. Мы не будем исследовать сходимость этих рядов. Отметим только, что при достаточной гладкости граничных функций эти ряды сходятся и дают классическое решение соответствующих краевых задач.
