2. Малые поперечные колебания упругой струны

Получим дифференциальное уравнение, описывающее процесс малых поперечных колебаний упругой струны. Пусть в состоянии равновесия струна длины расположена вдоль оси х и занимает положение от точки до точки Будем рассматривать случай малых поперечных колебаний струны, причем будем считать, что смещения струны расположены в одной плоскости. В этом случае процесс колебаний струны можно описать с помощью функции представляющей собой поперечное смещение точки струны с координатой х в момент времени

Струну будем рассматривать как гибкую упругую нить, не оказывающую сопротивления изгибу, но сопротивляющуюся растяжению. Напряжения, возникающие в струне в рассматриваемом случае, направлены по касательным к ее мгновенному профилю (рис. 1.1). Поскольку рассматриваются малые колебания, то возникающие в струне напряжения определяются законом Гука.

Рис. 1.1

Кроме того, в силу малости колебаний будем учитывать лишь члены первого порядка малости

Подсчитаем удлинение участка струны в момент времени Длина дуги этого участка равна

Следовательно, в пределах принятой точности удлинения участка струны в процессе колебаний не происходит. Поэтому в

силу закона Гука величина натяжения в каждой точке не изменяется со временем.

Проекции натяжения на оси равны

где а — угол между касательной и кривой и осью х.

Так как рассматриваются поперечные колебания, то следует учитывать силы инерции и внешние силы, направленные лишь вдоль оси а. Поэтому сумма проекций сил, действующих на выделенный участок струны вдоль оси х, равна

т. е. с учетом (1.14) получим В силу произвольности точки х струны натяжение не зависит от х, т. е.

Для вывода уравнения, описывающего поперечные колебания струны, воспользуемся вторым законом Ньютона, согласно которому изменение количества движения выделенного участка струны за время равно импульсу сил, приложенных к этому участку. Обозначим через линейную плотность струны, а через плотность импульса внешней поперечной силы, приложенной к струне. Тогда для участка струны второй закон Ньютона запишется следующим образом:

Предположим теперь, что функция дважды непрерывно дифференцируема по а функция непрерывна. Тогда, применяя к формуле (1.16) теорему о среднем и формулу конечных приращений получим

где

Сократив обе части формулы (1.17) на и переходя к пределу при получим в силу сделанных

предположений о непрерывности вторых частных производных функции и

Если плотность среды постоянная то уравнение (1.18) обычно записывается в виде

где

Уравнения (1.18) и (1 19) так же как и полученные ранее уравнения (1.7) и (1.8), представляют собой простейшие примеры уравнений колебаний.

Из физических соображений ясно, что, как и в случае малых продольных колебаний упругого стержня, для однозначного определения процесса малых поперечных колебаний упругой струны к уравнениям (1.18) или (1.19) необходимо добавить дополнительные условия — начальные и граничные. Начальные условия задают в начальный момент профиль струны и скорость всех точек струны. Граничные условия определяются способом закрепления концов струны. Эти условия могут включать производные высших порядков по х и по быть линейными или нелинейными. В частности, в зависимости от способа закрепления концов струны можно рассматривать граничные условия первого рода (условия Дирихле), граничные условия второго рода (условия Неймана) и граничные условия третьего рода. Общая начально-краевая задача, учитывающая различные комбинации граничных условий на правом и левом концах, ставится следующим образом:

причем коэффициенты не обращаются в нуль одновременно.

При на левом конце получается граничное условие Дирихле, при условие Неймана, при условие третьего рода. Аналогично на правом конце при получается граничное условие Дирихле, при условие Неймана, при условие третьего рода.