5. Функции Бесселя полуцелого порядка
С помощью формулы (2.16) получим выражение для функций 
Воспользуемся свойством гамма-функции (см. §2, п. 2)
где 
Подставим (2.24) в формулу (2.22):
Поскольку
и
получим
Аналогчно из формул (2.23) и (2.24) получим
Функции 
образуют два линейно независимых решения уравнения Бесселя порядка
Заметим, что из рекуррентной формулы (2.21) и полученных выражений для функции 
следует представление функций 
в виде
где 
полиномы степени не выше 
относительно и, причем 
Отметим также, что цилиндрические функции полуцелого порядка являются единственными цилиндрическими функциями, выражающимися через элементарные.
