4. Интегральное уравнение для внутренней задачи Неймана и внешней задачи Дирихле

Предыдущее рассмотрение показало, что интегральные уравнения для внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана оказались союзными интегральными уравнениями, так что исследование этих двух задач следовало бы вести одновременно. Естественно того же ожидать от внешней задачи Дирихле и внутренней задачи Неймана. Поэтому исследование этих двух задач будем вести одновременно. Рассмотрим внутреннюю задачу Неймана

Решение задачи (7.17) будем искать в виде потенциала простого слоя:

Плотность определяется из граничного условия

Следовательно, для функции получаем интегральное уравнение

Подставляя решение уравнения (7.19) в (7.18), получим классическое решение задачи (7.17). Напомним, что задача (7.17) имеет решение не всегда. Необходимым условием существования решения является соотношение

Одновременно будем рассматривать и внешнюю задачу Дирихле

и регулярна на бесконечности.

Решение задачи (7.21) будем искать в виде

где расстояние от точки до некоторой фиксированной точки О, расположенной в области Решение представлено в виде потенциала двойного слоя и потенциала точечного заряда, находящегося внутри области Необходимость второго слагаемого в (7.22) связана с тем, что потенциал двойного слоя на бесконечности имеет оценку (см. п. 3), в то время как функция, регулярная на бесконечности, может убывать как О (—). Поэтому если в

(7.22) опустить второе слагаемое, то решения задачи (7.21), представимого только в виде потенциала двойного слоя, т. е. убывающего в бесконечности как может и не быть.

Величину а определим позже.

Плотность потенциала определяется граничным условием

Используя формулу (6.16), отсюда получим

Следовательно, для функции получаем интегральное уравнение

Заметим, что величина а пока не фиксирована.

Интегральные уравнения (7.19) и (7.23) являются союзными интегральными уравнениями. Поэтому разрешимость их нужно исследовать одновременно.

Рассмотрим однородное уравнение

Ранее (см. 6.12)) было показано, что при

Поэтому очевидно, что функция является решением уравнения (7.24). Это означает, что является собственным значением ядра

которому соответствует собственная функция Согласно второй теореме Фредгольма является собственным значением и союзного ядра

Поэтому прежде всего вычислим ранг этого собственного значения.

Покажем, что ранг собственного значения равен единице. Для этого достаточно показать, что однородное уравнение

имеет только одну собственную функцию. Пусть - собственная функция уравнения (7.25). Составим потенциал простого слоя с плотностью

Поскольку удовлетворяет уравнению (7.25), то

Следовательно, функция есть решение внутренней однородной задачи Неймана

Поэтому Заметим, что постоянная поскольку иначе по лемме 5.1 п. 2 получим на , что противоречит сделанному предположению.

Пусть существует второе ненулевое решение уравнения (7.25), т. е. вторая линейно независимая на собственная функция, соответствующая Тогда аналогично предыдущему

всюду в

Построим функцию

По построению в Поскольку согласно есть потенциал простого слоя, то по лемме 5.1 его плотность равна нулю на т. е.

Это означает, что функции линейно зависимы.

Следовательно, ранг собственного значения равен единице. Собственную функцию уравнения (7.25) нормируем так, чтобы

Потенциал с плотностью носит название потенциала Робэна.

Итак, уравнение (7.25) имеет единственную собственную функцию а союзное однородное уравнение

имеет единственную собственную функцию причем можно считать, что

Отсюда получаем, используя третью теорему Фредгольма что неоднородное уравнение (7.19) разрешимо, если

а уравнение (7.23) разрешимо, если

При выполнении условия (7.28) решение уравнения (7.19) имеет вид

где некоторое решение неоднородного уравнения — произвольная постоянная. Подставляя (7.30) в (7.18), получаем решение внутренней задачи Неймана

или согласно (7.27)

Итак, условие (7.20) является не только необходимым, но и достаточным условием разрешимости внутренней задачи Неймана. При его выполнении она имеет решение при любой непрерывной функции представимое в виде (7.31).

Рассмотрим теперь условие (7.29). Его можно записать в виде

Поскольку то в силу (7.27)

Поэтому

Теперь будем считать, что постоянная а определена соотношением (7.32). Тогда условие разрешимости (7.20) выполняется автоматически. Уравнение (7.23) разрешимо при любой непрерывной функции но решение его неединственно и имеет вид

где -некоторое решение уравнения (7.23), С — произвольная постоянная. Подставляя (7.33) в (7.22), получим решение внешней задачи Дирихле

Так как при

из (7.34) получаем

Величина а определяется соотношением (7.32). Таким образом, внешняя задача Дирихле при любой непрерывной функции имеет единственное классическое решение.

Проведенные рассуждения показывают, что справедливы следующие теоремы.

Теорема 5.14. Внешняя задача Дирихле (7.21) имеет классическое решение при любой непрерывной функции

Теорема 5.15. Внутренняя задача Неймана (7.17) имеет классическое решение при любой непрерывной функции удовлетворяющей условию (7.20).

Замечание. В этом параграфе изложен метод интегральных уравнений для краевых задач для уравнения Лапласа. Краевая задача для уравнения Пуассона рассматривается аналогично.

Для примера рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона

Пусть — объемный потенциал с плотностью

Вместо введем новую неизвестную функцию соотношением

Тогда из (7.35), учитывая свойства объемного потенциала, получаем краевую задачу для функции

где

Таким образом, задача (7.35) сведена к краевой задаче (7.36) для уравнения Лапласа, которая подробно рассмотрена ранее. Аналогичным образом и другие краевые задачи для уравнения Пуассона сводятся к соответствующим краевым задачам для уравнения Лапласа.