§ 3. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с граничными условиями первого рода (задачу Дирихле)
Если рассматривать классическое решение задачи (3.1) — (3.3), необходимо добавить условие согласования начального и граничного условий
Докажем для задачи (3.1) — (3.3) теорему единственности.
Теорема 6.5. Задача (3.1) — (3.3) может иметь только одно классическое решение.
Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют два классических решения задачи (3.1) — (3.3) 
. Рассмотрим функцию 
Очевидно, 
является классическим решением однородной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности (3.1), непрерывным в замкнутом цилиндре 
Применяя к функции 
принцип максимума, получим
а применяя принцип минимума, имеем
Из двух последних формул следует, что
т. е. 
Полученное противоречие доказывает теорему.
Если существует классическое решение задачи (3.1) — (3.3), то оно устойчиво по начальным и граничным значениям.
Теорема 6.6. Классическое решение задачи (3.1) — (3.3) устойчиво по начальным и граничным значениям.
Доказательство. Пусть 
-решение задачи (3.1) — (3.3) с начальной и граничной функциями 
- решение той же задачи с начальной и граничной функциями 
Предположим, что выполняются неравенства
Нам нужно доказать, что функции 
удовлетворяют неравенству
Неравенство (3.4) сразу следует из принципа сравнения 2, если его применить к функциям 
и 
