§ 8. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Как было показано в предыдущих параграфах, если известны полные системы собственных значений и собственных функций соответствующей краевой задачи, то решение начально-краевой задачи или краевой задачи для эллиптического уравнения можно построить в виде ряда.

В этом параграфе рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в простейших областях.

1. Одномерный случай: отрезок. В одномерном случае рассмотрим общую схему нахождения собственных функций и собственных значений следующей задачи Штурма-Лиувилля:

Обозначим через фундаментальную систему решений уравнений (8.1). Фундаментальные решения зависят от X как от параметра. Общее решение уравнения (8.1) можно записать в виде

Подставляя (8.4) в граничные условия (8.2) — (8.3), получим

Соотношения (8.5) представляют собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно Эта система имеет ненулевое решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю:

Соотношение (8.6) представляет собой уравнение для определения собственных значений . Это уравнение называется дисперсионным. Пусть корни уравнения (8.6). Каждому соответствует ненулевое решение системы (8.5) и, следовательно, ненулевое решение уравнения (8.1), представимое в виде (8.4).

Выше был рассмотрен общий алгоритм построения собственных значений и собственных функций. В ряде случаев его можно упростить. Пусть фундаментальная система уравнения (8.1) выбрана так, что на одном из концов отрезка, например при функции удовлетворяют граничным условиям

Тогда, подставляя (8.4) в граничное условие (8.2), сразу находим Следовательно, собственная функция согласно (8.4) должна представляться в виде

Подстановка этого выражения в граничное условие (8.3) дает дисперсионное уравнение для Я:

Рассмотрим теперь частный случай В этом случае общее решение (8.4) может быть записано в виде

Коэффициенты определяются из системы

Уравнение (8.6) имеет вид

Легко убедится, например графическим методом, что уравнение (8.9) имеет бесконечное счетное множество корней Для каждого корня находим ненулевое решение системы (8.8):

где С — произвольная постоянная, отличная от нуля Величина

представляет собой норму собственной функции. Если постоянная С выбрана так, что то собственные функции будут ортонормированными.

Итак, ненормированные собственные функции задачи Штурма-Лиувилля

можно записать в виде

при

где корни уравнения (8.9).

Уравнение (8.9) имеет нулевое решение Ему будет соответствовать ненулевая функция определяемая (8.11), если и эта функция равна 1. Следовательно, при

Выделим частные случаи.

1. Граничные условия

2. Граничные условия

Заметим, что в этом случае существует нулевое собственное значение которому соответствует собственная функция

3. Граничные условия

4. Граничные условия

5. Граничные условия

корни уравнения

6. Граничные условия

— корни уравнения

7. Граничные условия

— корни уравнения

8. Граничные условия :

— корни уравнения

9. Граничные условия

- корни уравнения Заметим, что в этом случае собственную функцию можно записать также в виде

где — корни уравнения

2. Одномерный случай: периодические граничные условия. Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля на отрезке с условиями периодичности

Заметим, что условия периодичности (8.14) можно заменить граничными условиями

Общее решение уравнения (8.13)

подставим в условия (8.14):

Воспользовавшись линейной независимостью функций отсюда получим

Система (8.16) имеет ненулевое решение только при условии

или

Отсюда находим

При найденных значениях система (8.16) имеет два линейно независимых ненулевых решения:

Подставляя (8.17) в (8.15), находим собственные функции

Заметим, что собственному значению соответствует одна собственная функция в то время как все ненулевые собственные значения имеют ранг, равный двум.

Таким образом, задача (8.13) — (8.14) с периодическими граничными условиями имеет следующие наборы собственных значений и собственных функций:

При

3. Прямоугольник. Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольнике:

где постоянные, причем .

Задачу (8.18) — (8.20) будем решать методом разделения переменных. Найдем ненулевые решения уравнения (8.18), представимые в виде

Подставляя (8.21) в уравнение (8.18) и разделяя переменные, получим

Следовательно, для функций получаем одномерные задачи Штурма-Лиувилля для отрезка:

где

Решив каждую из этих задач, собственные функции задачи (8.18)-(8.20) найдем согласно (8.11), а собственные значения X вычислим по формуле

Таким образом, справедливо следующее утверждение: собственные функции оператора Лапласа для прямоугольника равны произведению собственных функций по каждой переменной с соответствующими граничными условиями а собственные значения равны сумме собственных значений одномерных задач

В качестве примера приведем собственные функции и собственные значения для задач Дирихле и Неймана:

а) задача Дирихле где С — контур прямоугольника:

б) задача Неймана где внешняя нормаль к контуру прямоугольника:

Собственные функции и собственные значения для других граничных условий легко выписать, используя результаты

4. Прямоугольный параллелепипед. Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольном параллелепипеде имеет вид

Используя результаты п. 3 этого параграфа, легко показать, что собственные функции и собственные значения для прямоугольного параллелепипеда имеют вид

где - собственные функции и собственные значения соответствующих одномерных задач Штурма-Лиувилля по каждой переменной. На доказательстве этого утверждения мы не останавливаемся, поскольку оно полностью аналогично приведенному в п. 3.

Задачи Штурма-Лиувилля для некоторых других областей будут рассмотрены в следующей главе, после того как будут изложены необходимые сведения о специальных функциях.