4. Непрерывность потенциала простого слоя

Если точка лежит на поверхности, то потенциал является несобственным интегралом, сходимость которого подлежит исследованию. Пусть гладкая поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке которой существует непрерывная нормаль (или касательная плоскость).

Теорема 5.10. Потенциал простого слоя с ограниченной непрерывной плотностью, заданной на гладкой поверхности, является непрерывной функцией во всем пространстве.

Доказательство. Мы установили, что потенциал простого слоя является непрерывной функцией вне поверхности Остается показать, что при выполнении условий теоремы потенциал простого слоя непрерывен на поверхности и его значения вне поверхности непрерывно примыкают к значениям на Для этого в силу указанных ранее свойств равномерно сходящихся несобственных интегралов достаточно показать, что интеграл

равномерно сходится в точках поверхности

Пусть произвольная точка поверхности Построим сферу 2 радиуса с центром в точке Обозначим через ту часть поверхности которая расположена внутри (рис. 5.2). Тогда

Рис. 5.2

Рис. 5.3

Пусть произвольная точка, отстоящая от точки не более чем на 6:

Нужно показать, что для любого существует такое, что

при всех для которых

Введем локальную систему координат с началом в точке направив ось вдоль внешней нормали к

поверхности в точке М (рис. 5.3). Пусть в этой системе координат проекция на плоскость где у — угол между нормалью в точке и осью Оценим

Пусть круг радиуса 26 с центром в точке , лежащий в плоскости и содержащий внутри себя. Величину выберем настолько малой, что что возможно, поскольку поверхность гладкая. Тогда

Введя полярную систему координат с центром получим

Следовательно, интеграл по сходится равномерно относительно в точке и представляет собой непрерывную в точке функцию. Поэтому потенциал простого слоя непрерывен в точках поверхности

Из приведенных рассуждений следует, что потенциал простого слоя с ограниченной плотностью непрерывен во всем пространстве.

В двумерном случае доказательство непрерывности потенциала простого слоя проводится аналогично.