6. Примеры построения функций Грина
Рассмотрим несколько примеров построения функции Грина задачи Дирихле для конкретных областей.
Для построения функции Грина для полупространства 
удобнее всего применить метод электростатических отображений.
Чтобы построить функцию Грина, достаточно определить функцию 
которая в данном случае является решением следующей краевой задачи:
на бесконечности.
Пусть — точка, симметричная точке 
относительно плоскости 
Тогда очевидно, что решением задачи (4.23) является функция
Следовательно, функция Грина имеет вид
Заметим, что первое слагаемое в формуле (4.24) представляет собой потенциал точечного заряда, расположенного в точке 
а второе — потенциал точечного заряда противоположного знака, расположенного в симметричной точке 
Учитывая физическую интерпретацию функции Грина, выражение (4.24) можно было выписать сразу.
Построим теперь функцию Грина для шара 
радиуса а. В этом случае тоже можно использовать метод электростатических отображений. Но для иллюстрации различных способов построения функции Грина 
воспользуемся методом разделения переменных.
Введем сферическую систему координат 
с началом в центре шара и ось 
направим так, чтобы она проходила через точку 
Для определения функции 
получаем краевую задачу
Общее решение уравнения Лапласа внутри шара имеет вид
Коэффициенты 
следует определить из граничных условий.
Легко видеть, что в силу аксиальной симметрии краевой задачи для функции 
эта функция также не будет зависеть от азимутального угла 
Поэтому в разложении функции 
отличными от нуля оказываются лишь коэффициенты 
и это разложение принимает вид
где 
полиномы Лежандра.
Для разложения граничного условия по полиномам Лежандра воспользуемся выражением для производящей функции полиномов Лежандра:
Подставляя (4.27) в граничное условие и учитывая (4.28), находим
Следовательно,
Этот ряд можно просуммировать. Пусть 
точка, сопряженная точке 
относительно сферы 
Тогда 
Поэтому функция Грина имеет вид
Решение краевой задачи
выражается через функцию Грина 
в виде
Преобразуем эту формулу. Пусть 
Так как
где
то
Подставляя (4.30) в (4.29), получим
Формула (4.31) называется интегралом Пуассона для сферы. Можно показать, что для любой непрерывной функции 
она дает классическое решение задачи Дирихле в шаре.
Точно так же может быть построена функция Грина для внешней задачи (для области вне шара). Формула Пуассона для внешней задачи выписывается сразу, если учесть различие направлений нормали для внутренней и внешней задач:
где 
точка наблюдения, расположенная вне шара.
Рассмотрим еще один метод построения функции Грина.
Как было показано (см. п. 2), функция Грина 
есть обобщенное (в смысле обобщенных функций) решение следующей краевой задачи:
Исходя из задачи (4.32) можно построить функцию Грина в виде ряда по собственным функциям оператора Лапласа. Изложим схему этого построения.
Пусть 
полные системы собственных значений и ортонормированных собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа:
Решение задачи (4.32) будем искать в виде
Предполагая, что написанный ряд сходится в смысле обобщенных функций, подставим его в (4.32). Получим
Отсюда
Следовательно,
Такое выражение было получено ранее в § 7 гл. III. На исследовании вопросов сходимости полученного ряда останавливаться не будем.
