§ 7. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ НА НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМОЙ

1. Постановка задачи с начальными условиями для неограниченной струны

При математическом описании любого физического процесса прежде всего необходимо поставить задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. В том случае, когда физическая задача

сводится к уравнению в частных производных, для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия.

В случае простейшей задачи, описывающей процесс поперечных колебаний струны, для однозначного определения решения к уравнению колебаний нужно еще добавить начальные и граничные условия. Отметим, что если точка струны с координатой х достаточно удалена от границы, то влияние граничных условий сказывается в точке х через достаточно большой промежуток времени. Поэтому если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, то вместо полной задачи можно рассматривать задачу с начальными условиями для неограниченной струны. Эта задача ставится следующим образом:

где постоянный коэффициент, а область имеет вид

Напомним определение классического решения.

Определение. Классическим решением задачи с начальными условиями (7.1), (7.2) называется функция непрерывная вместе со своими первыми производными по в замкнутой области имеющая непрерывные производные второго порядка в открытой области удовлетворяющая в уравнению (7.1) и при начальным условиям (7.2).

Учитывая линейность задачи (7.1), (7.2), можно провести ее редукцию и представить решение задачи в виде суммы решений двух задач:

где решение задачи Коши для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями, решение задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями.