§ 9. КОЛЕБАНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В этом параграфе изучается задача для уравнения колебаний в неограниченном пространстве в случае трех независимых переменных:

Определение. Классическим решением задачи (9.1), (9.2) называется функция непрерывная и непрерывно дифференцируемая по в замкнутой области дважды непрерывно дифференцируемая по и по в открытой области удовлетворяющая в уравнению (9.1), а при начальным условиям (9.2).

Ниже будут указаны условия, при которых существует классическое решение задачи (9.1), (9.2). Будем считать, что данные задачи удовлетворяют достаточным условиям гладкости, при которых существует классическое решение.

Эта задача является естественным обобщением одномерного случая, рассмотренного в предыдущем параграфе. Чтобы получить некоторые общие представления о решении задачи (9.1), (9.2), начнем с частного случая.

1. Сферически-симметричный случай

Введем сферическую систему координат с началом в точке

Пусть входные данные задачи (9.1), (9.2) являются радиально симметричными функциями в этой системе, т. е. Очевидно, решение также симметричная функция относительно точки Поэтому получим следующую задачу для функции и

Задача с помощью замены сводится к уже изученной задаче, описывающей одномерные колебания на полупрямой:

Заметим, что граничное условие (9.8) является следствием? естественного условия ограниченности (9.5). Решение задачи (9.6) — (9.8), как иоказано в § 8, представляется в виде суперпозиции правых и левых бегущих волн, распространяющихся со скоростью а от начальных возмущений и приложенных внешних сил. Тем самым и решение задачи (9.6) — (9.8) представляется в виде суперпозиции распространяющихся в радиальном направлении сферических волн, амплитуда которых убывает при удалении от центра (точки Такие колебания называются расходящимися и сходящимися бегущими сферическими волнами в зависимости от направления распространения от точки или к этой точке.